大域中具有有限耗散的紧致Navier-Stokes三叶形涡旋结

《Journal of Fluid Mechanics》：Compact Navier–Stokes trefoils in large domains with finite dissipation

本文推荐一项关于无外力驱动下涡旋重联产生有限能量耗散的研究。为解决湍流中是否存在耗散异常这一关键问题，研究人员针对受扰动的三叶形涡旋结在Navier-Stokes方程下的演化展开研究。通过在大计算域（(2?π)3, ? 最大至12）中进行高分辨率数值模拟，发现当域尺寸随粘度ν减小以? ～ ν-1/4增加时，体积积分涡量矩v1/4OVm(t) 在一系列时间点tm收敛，且能量耗散率ε(t) = νZ(t)在有限时间区间内呈现ν无关的有限值积分ΔEε，满足耗散异常的一种定义。研究还观察到与Lundgren螺旋涡模型相关的瞬态k1/3型涡能谱，为理解非平衡湍流中能量级联和耗散机制提供了新视角。

　　

湍流，这种自然界和工程中无处不在的流动状态，其最核心却又未完全解开的谜题之一便是“耗散异常”：即便流体的粘度（ν）趋近于零（雷诺数Re → ∞），能量的耗散率（ε）仍能保持在一个有限的非零值。这意味着在极高雷诺数下，流动仍能通过极其复杂的微小涡旋结构将大尺度动能持续地转化为内能。传统的理论认为，这需要存在一个统计稳态的能量级串过程，其特征是著名的柯尔莫哥洛夫能谱E(k) ～ k^-5/3。然而，在像涡旋重联这类高度非平衡、非稳态的流动中，是否以及如何能够产生有限的能量耗散，仍然是一个悬而未决的问题。这类瞬变流动缺乏持续的外部能量输入，其湍流特性更像是“昙花一现”，因此成为验证耗散异常是否存在、以及探索其产生机制的理想“实验室”。

为了回答这个根本性问题，Robert M. Kerr在《Journal of Fluid Mechanics》上发表了题为“Compact Navier-Stokes trefoils in large domains with finite dissipation”的研究。该研究聚焦于一个特殊的初始流场——受扰动的三叶形涡旋结。选择三叶形涡旋结是因为其结构紧凑、初始扰动稳定（采用代数型涡量剖面而非高斯剖面以避免固有不稳定性），并且其螺旋对称性打破了各向同性的假设，更接近于真实流动中的复杂涡结构。研究人员通过求解非定常、无外加力场的纳维-斯托克斯方程，系统研究了这个涡旋结在不同粘度（对应不同雷诺数）和不同大小计算域中的演化过程。

研究的关键创新在于突破了传统(2π)³计算域的限制，发现为了在粘度ν减小时观察到流动物理量的收敛，必须同步增大计算域尺寸L = 2?π，并确立了经验性的标度关系? ～ ν^-1/4。这意味着高雷诺数（低粘度）模拟需要在更大的空间中进行，以避免周期性边界条件对涡结构演化（特别是涡片的形成和扩展）的早期人为约束。研究表明，通过这种“大域”策略，可以捕捉到在固定小域模拟中可能被抑制的、导致有限耗散的关键动力学过程。

本研究主要依赖于高分辨率数值模拟技术。核心方法是采用高波数过滤的2/3规则去混淆伪谱方法，在大型周期性计算域（最大达(12π)³）上直接数值求解三维不可压缩Navier-Stokes方程。计算使用了高达2048³的网格分辨率以确保小尺度流动结构的解析。初始条件为具有代数型涡量剖面的受扰动三叶形涡旋结。诊断分析主要基于对体积积分涡量矩（如涡能Z(t)、高阶矩O_Vm(t)）、能量耗散率ε(t)、能谱E_V(k,t)和涡能谱Z_V(k,t)的时空演化分析，并结合三维涡结构可视化（如涡量等值面、螺旋度着色）来揭示物理机制。

体积积分涡量矩的标度行为与重联阶段

研究首先关注体积积分涡量矩O_Vm(t) = (∫_V|ω|^2mdV)^1/2m的演化。研究发现，当计算域尺寸L随ν按? ～ ν^-1/4增加时，一系列经ν^1/4标度后的矩ν^1/4O_Vm(t)会在不同但有序的时间点t_m（满足t_∞≤ ... ≤ t_m... ≤ t₁= t_x≈ 40）实现与ν无关的收敛。特别地，ν^1/2Z(t) = (ν^1/4O_V1(t))²在t_x≈ 40时刻的收敛，标志着涡旋重联缩放阶段的结束。此时，涡能Z(t)开始加速增长。

有限时间能量耗散异常

在重联阶段之后（t > t_x），涡能Z(t)呈现加速增长。尽管ν持续减小，能量耗散率ε(t) = νZ(t)在t ~ 70至t_ε≈ 93 ≈ 2t_x的时间段内显示出近似的收敛行为。对其在有限时间窗口ΔT_ε↘ 0.5t_ε内进行积分，得到的时间积分能量耗散ΔE_ε= ∫_ΔTεε dt在ν减小时趋于一个有限的非零值。这满足论文所采用的、较为严格的耗散异常定义，表明在该瞬态过程中产生了有限且与粘度无关的能量耗散。

瞬态湍流谱与Lundgren标度

对涡能谱Z_V(k, t)的分析表明，在耗散率收敛的时间段内（约t=66至78），在中间波数范围（约k=2.67至4.33）出现了瞬态的Z_V(k) ～ k^1/3的标度行为。这对应于能谱E(k) ～ k^-5/3，是湍流惯性区的特征。然而，这种标度是瞬态的、非平稳的，随后在高波数区会退化为Z_V(k) ～ k^-1（E(k) ～ k^-3），并最终在耗散区呈指数衰减。这种谱演化行为与Lundgren的螺旋涡模型所预测的瞬态标度相似，但本研究中涉及的是双重涡片的相互作用，而非单个涡环绕拉伸。

三维涡结构演化与耗散产生机制

通过三维涡结构可视化（通常使用螺旋度着色的涡量等值面）揭示了有限耗散产生的物理机制。在重联前期（t ~ 24），从三叶形结的交叉点附近会剥离产生负螺旋度（h < 0）的涡片。由于初始扰动的不对称性，这些涡片并不同时出现。随后（t ~ 30至48），这些涡片相互缠绕、包裹，形成复杂的“果冻卷”状结构。在重联后期（t > 48），这些缠绕的涡片结构进一步演化为多个螺旋状的涡管，伴随着强烈的涡拉伸，从而导致涡能Z(t)和耗散率ε(t)的加速增长。这种由双重涡片相互作用主导的动力学过程，是产生瞬态惯性标度和有限能量耗散的关键。

结论与意义

本研究通过系统的大域、高分辨率数值模拟，清晰地展示了从一个紧凑的、非平衡的初始涡旋结构（受扰动三叶形结）出发，可以在有限时间内产生有限且与粘度无关的能量耗散（ΔE_ε> 0），即实现耗散异常。这一现象的产生强烈依赖于计算域尺寸的恰当选择（? ～ ν^-1/4），这保证了涡结构演化不受人为边界条件的过早约束。研究揭示了产生有限耗散的关键动力学过程是双重涡片的形成、缠绕及其后续的螺旋化，而非源于奇点或统计稳态的湍流。同时，研究观察到了与Lundgren模型相关的瞬态惯性区谱标度