湍流Rayleigh-Bénard对流中热输运与雷诺数标度律的普适性研究

《Journal of Fluid Mechanics》：Universal scaling law in turbulent Rayleigh–Bénard convection with and without roughness

本文针对高Rayleigh数(Ra>1011)湍流Rayleigh-Bénard对流中Nusselt数(Nu)与Ra标度关系存在争议的问题，通过实验和直接数值模拟(DNS)研究了光滑/粗糙边界条件下热输运特性。研究发现，虽然不同实验的Nu-Ra关系呈现不同标度行为，但用热通量Rayleigh数(RaNu)与雷诺数(Re)和Prandtl数(Pr)构建的标度关系RaNu≈0.2Re3Pr2具有普适性，揭示了湍流耗散异常的统一规律，为理解对流系统的热输运机制提供了新视角。

　　

在流体力学研究领域，湍流Rayleigh-Bénard对流一直被视为研究热对流现象的经典模型系统。当一个流体层被从下方加热、从上方冷却时，系统会发展出复杂的对流运动，这种现象不仅具有重要的理论价值，更在气象学、海洋学和工程热传递等众多领域有着广泛的应用。然而，尽管经过数十年的研究，科学界对高Rayleigh数条件下热输运的标度行为仍存在显著分歧——不同实验组报道的Nusselt数(Nu)与Rayleigh数(Ra)的关系各不相同，有些显示在Ra≈10¹¹时出现向"终极状态"的转变，有些则显示转变被延迟或根本不存在转变。

这种不一致性使得从实验室结果外推至自然系统（如极地海洋对流或冰下湖泊）变得困难，这些自然系统中的Rayleigh数可超过10¹⁴。问题的物理根源一直难以捉摸，但有理论指出这可能与流动配置的多重性以及向终极状态转变的亚临界特性有关。

在这一背景下，由法国国家科学研究中心(CNRS)的Lyse Brichet等人开展的研究，通过结合实验和数值模拟方法，对这一问题进行了深入探索。他们分别在光滑边界和混合光滑-粗糙边界条件下，测量了高达Ra=10¹²的热通量和速度场，涵盖了水和氟碳化合物两种工质（Prandtl数分别为4.4和12），以及不同的纵横比条件。

研究发现，虽然不同配置下的Nu-Ra关系确实表现出多样性，特别是在粗糙下半部分，Nu与Ra^1/2成比例（含对数修正），暗示了纯惯性状态的存在，但研究人员成功找到了统一这些看似不同状态的关键：当将热通量表示为通量Rayleigh数RaNu时，所有数据——包括本研究的新数据和文献中的已有数据——在超过一个普适临界雷诺数(Re_c≈10⁴)后，都遵循RaNu≈0.2Re³Pr²的标度关系。

这一普适标度律的发现具有重要意义，因为它表明尽管不同实验在Nu-Ra关系上存在差异，但它们实际上都处于湍流状态，且整体耗散行为由湍流体主导。这一发现不仅调和了长期以来文献中的矛盾结果，更为理解湍流对流的本质提供了新的视角。相关研究成果发表在流体力学顶级期刊《Journal of Fluid Mechanics》上，为这一经典问题的研究注入了新的活力。

关键技术方法包括：在实验方面，使用相关图像测速技术(CIV)对纹影图像进行速度场测量，覆盖Ra=10⁹-2.5×10¹²和Pr=4.3-14的范围；在数值模拟方面，采用直接数值模拟(DNS)求解Boussinesq方程，网格分辨率达到3328×896×5760，确保满足Kolmogorov尺度分辨率准则；通过不对称粗糙细胞设计，实现了对粗糙和光滑半细胞的独立热输运分析。

3. 热通量估计

研究人员比较了光滑细胞(SS)和粗糙底部-光滑顶部混合细胞(RS)在不同工质和Ra范围内的热输运特性。在氟碳化合物细胞中，热边界层厚度(δ_th=H/(2Nu))为250-500μm，小于粗糙度高度h₀，而动力边界层厚度(δ_v≈δ_thPr^1/3)为600-1100μm，同样小于h₀，表明粗糙细胞处于Xie & Xia定义的III区。

即使粗糙半细胞的Nu遵循Ra^1/2标度，光滑半细胞的Nusselt数在超过3个量级的Ra范围内仍与SS细胞测量结果以及Grossmann-Lohse模型吻合良好。这表明即使在远离粗糙度增强阈值的情况下，顶部和底部板仍保持独立性，即使底部半细胞的Nu几乎是顶部半细胞的两倍。

4. 速度估计

实验通过纹影图像的相关图像测速(CIV)获得了速度场估计。该方法通过将图像分为小区域并在t和t+Δt时间点进行相关分析，获得局部速度估计。虽然纹影图像中心区域对比度较低，但使用14位高动态相机可以解析整个细胞中的羽流模式。

数值模拟通过保存中平面切片获得了中深度平均速度场。研究发现，在Ra=10¹⁰和Ra=10¹²时，平均速度场具有相似结构，且在粗糙细胞中也没有显著变化。当在底部板添加粗糙度时，平均速度增加了5%-20%，但整体流动结构没有显著改变。

5. 讨论

摩擦系数RaNu/(Re³Pr²)是研究的关键量，它可以解释为总动能耗散率ε与体区耗散率ε_u,bulk之比R_ε=ε/ε_u,bulk。研究发现，在临界雷诺数Re_c≈10⁴处存在一个转变，超过此值后摩擦系数不再依赖于雷诺数。

从DNS三维速度梯度直接估计的R_ε值显示，在最高Re时达到的平台值约为1.3，表明超过75%的动能耗散发生在边界层之外，总耗散由湍流体主导。

这一转变可能对应于Dimotakis描述的全湍流流动中的混合转变，也被认为是Castaing等人预测的软湍流-硬湍流转变的对应现象。平台的存在是湍流中耗散异常的标志，这一现象在多种湍流系统中都被观察到。

研究最终得出了普适的标度关系：RaNu≈0.2Re³Pr²。这一关系不仅适用于显示向终极状态转变的实验数据，也适用于未显示这种转变的数据，同时适用于粗糙细胞和光滑细胞。这表明所有这些实验都处于湍流状态，但Nu(Ra)关系不是唯一的，因为它还依赖于热耗散ε_θ，而ε_θ在这些状态中取决于与大规模环流有强相互作用的局部热边界层形式。

研究结论强调，虽然基于外尺度雷诺数的条件在理解为什么文献中某些数据集没有显示转变或显示延迟转变方面可能不是决定性标准，但所有高Ra数据集都已经超出了向湍流的转变点，其中动能耗散率按Re³标度。然而，这似乎并不足够，平均风强度不是这些实验中终极状态 onset 的限制因素，这与之前的研究一致。

这项研究通过发现热通量RaNu与Re和Pr之间的普适标度关系，成功统一了长期以来在湍流Rayleigh-Bénard对流研究中存在的矛盾结果，为理解湍流对流的本质提供了新的理论基础，对从实验室尺度到自然系统的热输运预测具有重要意义。