质量-质量系统中负有效质量与周期性轨道：能量传递与动态响应机制解析

《International Journal of Coal Geology》：On the use of effective mass in modeling undamped mass-in-mass metamaterials

本研究针对质量-质量系统在谐波激励下的动态响应，深入探讨了其周期性轨道与负有效质量现象。研究人员通过状态空间公式和庞加莱映射方法，解析了系统的封闭解，揭示了有效质量仅在特定初始条件下才能准确表征系统行为。结果表明，系统存在无限多周期性轨道，而负有效质量的出现与内部谐振器的能量吸收直接相关。该研究为理解局域共振超材料的带隙形成机制和能量传递路径提供了新的理论视角，对振动控制与波动调控具有重要意义。

　　

在工程振动控制和波动调控领域，质量-质量系统作为局域共振超材料的基本单元，近年来受到广泛关注。这类系统通过内部谐振器的动态耦合，能够在特定频率范围内产生负有效质量现象，从而实现振动抑制和波动操控。然而，传统研究多集中于等效模型的有效参数表征，对系统内在动力学机制及其与能量传递路径的关联尚缺乏深入解析。特别是，负有效质量的物理本质及其在周期性轨道中的表现形式，仍是当前研究的难点问题。

为揭示质量-质量系统的动态特性，研究人员在《International Journal of Coal Geology》上发表了题为"On the periodic orbits and negative effective mass of mass-in-mass systems"的论文。该研究通过解析质量-质量系统在谐波激励下的封闭解，系统分析了其周期性轨道与负有效质量的关系。研究采用状态空间公式和庞加莱映射方法，推导了系统的精确解析解，并通过能量分析阐明了内部谐振器与外部质量间的能量传递机制。

关键技术方法包括：1）建立质量-质量系统的状态空间模型；2）应用庞加莱映射理论分析周期性轨道；3）通过Floquet乘子评估轨道稳定性；4）基于机械能守恒定律分析能量分布。研究选取了典型的双自由度质量-质量系统作为分析对象，通过解析求解获得了系统在零初始条件和特定初始条件下的动态响应。

质量-质量系统的封闭解分析

通过将系统方程转化为状态空间形式，研究人员获得了系统在谐波激励下的精确解析解。结果表明，系统响应包含两个谐波分量，其频率分别为激励频率ω和系统固有频率ω₂√(1+μ)。当初始条件满足特定关系时，系统存在唯一的周期性轨道，此时有效质量Meff(ω)可明确定义为Meff(ω) = σ₁/(k₂-m₂ω²)，其中σ₁= -m₁m₂ω²+k₂(m₁+m₂)。

负有效质量的出现条件

分析显示，当激励频率满足ω₂< ω < ω₂√(1+μ)时，有效质量呈现负值。这一现象与内部谐振器的反相运动密切相关，此时外部质量m₁的响应幅度显著降低。研究还发现，负质量区域的范围由质量比μ = m₂/m₁决定，随着μ增大，负质量区域向高频扩展。

周期性轨道的稳定性分析

通过计算庞加莱映射的Floquet乘子，研究人员证实了系统周期性轨道的Lyapunov稳定性。所有乘子的模均等于1，表明系统在无阻尼情况下具有边际稳定性，轨道对微小扰动稳定但不具有渐近吸引力。这一特性解释了为什么在特定初始条件下，系统能够维持稳定的周期性运动。

能量传递机制解析

研究通过分析系统各能量分量随时间演化，揭示了内部谐振器在能量吸收中的关键作用。当激励频率等于内部谐振器的固有频率（ω = ω₂）时，外部质量保持静止，所有输入能量被内部质量吸收。能量分布比DR_i的分析进一步量化了能量在两个质量间的分配规律，为理解超材料的振动抑制机制提供了新视角。

结论与讨论

本研究通过解析质量-质量系统的动态响应，澄清了负有效质量的物理本质及其与周期性轨道的关系。主要结论包括：1）负有效质量仅在与特定周期性轨道对应的初始条件下才有明确定义；2）系统存在无限多个周期性轨道，它们通过常数位移相互关联；3）能量传递机制决定了系统在不同频率区间的动态响应特性。这些发现不仅深化了对局域共振超材料工作机制的理解，也为基于负有效质量概念的振动控制设计提供了理论指导。未来研究可进一步探讨阻尼效应、多单元耦合等因素对系统动态特性的影响，推动超材料在实际工程中的应用。