基于双测度伪概周期函数的Mackey-Glass模型全局动力学分析

《Franklin Open》：(μ1,μ2)-Pseudo almost periodic dynamics of hematopoiesis model with mixed delays and nonlinear harvesting term

本文针对具有时变离散时滞、无限分布时滞和非线性收获项的广义Mackey-Glass模型，在更一般的双测度伪概周期函数框架下，研究了其正解的存在性、唯一性和指数稳定性。研究引入了(μ1, μ2)-PAP时间依赖参数以更好地捕捉环境波动，建立了新的函数复合定理，并给出了保证正(μ1, μ2)-PAP解存在唯一的充分条件。该工作推广了经典概周期性和伪概周期性理论，为分析复杂生物系统在多变环境下的动力学行为提供了新工具。

　　

在生物数学和理论生态学领域，Mackey-Glass方程作为描述造血过程、种群动态等生物现象的重要模型，长期以来备受关注。该方程的核心特征在于其包含时滞项，能够更真实地反映生物系统中存在的成熟时间、反应延迟等内在规律。然而，现实世界中的生物系统并非处于恒定不变的环境，而是持续受到各种周期性或非周期性波动因素的影响，例如季节更替、昼夜循环、资源可获得性的变化等。传统的概周期函数或伪概周期函数理论在刻画这类复杂环境波动时存在局限性，难以充分描述某些非标准振荡模式。这就提出了一个关键科学问题：如何在一个更广泛的函数类框架下，严格分析具有复杂时滞结构和环境依赖性的生物模型的长期动力学行为？

为了回答这一问题，研究人员在《Franklin Open》上发表了一项研究，将经典的Mackey-Glass模型推广到包含时变离散时滞、无限分布时滞以及非线性收获项的更一般形式，并首次在双测度伪概周期函数这一新颖的数学框架下对其进行深入分析。该研究旨在建立保证模型存在唯一、全局指数稳定的正双测度伪概周期解的充分条件，从而为理解生物系统在复杂波动环境下的适应性提供理论依据。

本研究主要运用了几个关键的技术方法：首先是双测度伪概周期函数理论，它统一并扩展了经典的Bohr概周期性、Zhang伪概周期性和μ-伪概周期性，为描述更广泛的环境波动提供了数学语言；其次是Banach不动点定理，用于证明解的存在唯一性；第三是全局指数稳定性的Lyapunov型分析技巧；此外，研究还涉及函数复合运算在新型函数空间中的性质探讨。数值模拟被用来验证理论结果。

主要结果

1. 预备知识

研究首先系统介绍了双测度伪概周期函数空间的定义和基本性质。该空间中的函数可以分解为一个概周期分量和一个关于特定测度对(μ₁, μ₂)的遍历分量。论文证明了在该测度对满足一定相容性条件下，该函数空间构成Banach空间，并且对平移、线性组合、乘法等运算封闭。这些性质为后续分析奠定了基础。

2. 正解的存在唯一性与稳定性

通过构造一个合适的映射并应用Banach不动点定理，研究证明了当模型系数满足特定界限条件时，系统存在唯一的正双测度伪概周期解。进一步地，通过构造Lyapunov函数并分析其沿系统轨线的导数，研究建立了该正解的全局指数稳定性条件。这些条件具体表现为模型参数（如时滞项系数、非线性项Lipschitz常数等）需要满足的一系列不等式，确保了系统不仅存在周期或概周期波动模式，而且该模式是局部吸引的。

3. 数值例子

论文提供了一个具体的数值例子来验证理论结果。例子中选取了满足理论条件的特定测度μ₁和μ₂（其Radon-Nikodym导数分别为e^cos(t)和分段函数），并构造了一个具体的双测度伪概周期函数。数值模拟直观地展示了在该参数设置下，系统确实收敛到一个正的双测度伪概周期解，与理论预测相符。

结论与讨论

本研究的主要结论是，在双测度伪概周期函数框架下，一类广义的Mackey-Glass时滞微分方程在适当的参数条件下，存在唯一的、全局指数稳定的正解。这一结论的重要意义在于多方面：理论上，它将概周期动力系统的研究推广到了一个更宽广的函数空间，丰富了对非线性系统振荡行为的数学理解；方法上，所建立的存在唯一性及稳定性判据具有一般性，可应用于其他类似的生物数学模型；应用上，该框架能更灵活地模拟生物系统所面临的各种非标准环境涨落，为理论生态学、生理学等领域的定量研究提供了更强大的工具。未来的研究方向可能包括将该框架应用于更复杂的网络系统、随机扰动系统，以及探索双测度伪概周期解的其他动力学性质。