快速电场反转对近晶C*液晶泵浦效应的二维瞬态挤压膜模型分析

《Journal of Fluid Mechanics》：Analysis of the effect of fast electric field reversal on smectic C* liquid crystals

本文针对快速电场反转下近晶C*(SmC*)液晶的泵浦现象，重新审视了早期模型。研究摒弃了关于速度场的简化假设，建立了一个时间依赖的二维挤压膜模型，最终导出一个高度非线性的积分-微分方程。分析揭示了一个涉及五个SmC*粘度系数的意外可解性条件，关乎解的存在性与唯一性。研究发现，当解存在时，可自由移动的上极板不仅会上升，也可能下降，其最终静止位置依赖于初始条件，这与早期模型的预测截然不同，为理解此类液晶的机电效应提供了新视角。

　　

想象一下，有一种特殊的液体，它既像液体一样可以流动，又像晶体一样其分子排列具有方向性，这就是液晶。其中，近晶C^*(Smectic C^*, SmC^*)液晶因其分子呈层状排列，且每层内分子 director (指向矢) 以一个固定的倾斜角θ相对于层面法线排列，并能在锥面上旋转，而显得尤为独特。更引人注目的是，由于手性，SmC^*液晶还表现出铁电性，即存在自发极化P。当将一层SmC^*液晶像书本一样（书籍helf排列）夹在两个平行板之间（下极板固定，上极板可自由移动），并施加一个电场时，一个有趣的现象发生了：快速反转电场的方向，会引发上极板的垂直振动，仿佛液晶在“泵送”极板向上运动。这一现象自上世纪八九十年代被实验发现以来，一直吸引着研究人员的兴趣。

为了从理论上解释这一“泵浦现象”，Stewart (2010) 基于连续介质理论，并采用了一个简化的速度场假设（即v = k(t)y, w = -k(t)z），成功地定性地复现了这一现象。该假设的优点是自动满足不可压缩条件且使粘性应力张量为零，但其代价是无法在可动极板处满足无滑移边界条件。尽管作者认为这或许不影响定性结果，但这个近似无疑留下了改进的空间。那么，一个自然而然的问题是：如果我们抛弃这个假设，转而从完整的线动量和角动量方程出发来求解速度场，会发生什么？泵浦现象是否依然存在？上极板的运动行为又会如何？

为了回答这些问题，Michael Vynnycky 和 Sean McKee 在《Journal of Fluid Mechanics》上发表了他们的研究。他们着眼于快速电场反转这一情况，建立了一个更为严谨的二维时间依赖模型。由于液晶样本非常薄，他们巧妙地将其建模为一个瞬态挤压膜问题，类似于经典的滑块轴承问题或Hele-Shaw池中的流动。通过细致的量纲分析和渐近简化，他们最终将复杂的流体动力学方程组约化成了一个关于相位角φ的高度非线性的积分-微分方程。

本研究主要运用了数学建模与渐近分析相结合的方法。首先，基于Leslie, Stewart & Nakagawa (1991) 的SmC^*液晶流动理论，建立了包含质量、线动量、角动量守恒方程以及上极板运动方程的完整二维模型。关键样本参数来源于文献，如初始样本高度h₀、宽度b₀、上极板质量m_p、自发极化强度P₀、施加电场E以及五个主要的粘度系数（λ₂, λ₅, μ₀, μ₃, μ₄）。接着，通过量纲分析确定特征尺度，并利用几何 slender (? = h₀/b₀? 1) 和惯性效应小（雷诺数Re ? 1）的特点，对控制方程进行渐近简化，得到主导阶模型。最后，对简化后的模型进行解析和数值分析，探讨解的性质、稳态及其稳定性。

5. 分析结果

5.1 可解性条件与粘度系数约束

对简化后的模型进行分析，导出了一个关于解存在性与唯一性的关键条件。该条件涉及五个SmC^*粘度系数，其不等式形式为 μ₀+ μ₄> λ₂(λ₂/λ₅+ 1)。这意味着，并非所有物理上可能的粘度系数组合都能保证模型在所述简化框架下存在唯一解。这一发现超出了此前文献中通常考虑的粘度不等式，为SmC^*液晶流变学提供了新的理论见解。

5.2 稳态行为

分析表明，系统存在两个可能的稳态：φ = 0 和 φ = π。线性稳定性分析揭示，φ = 0 是稳定的吸引子，而 φ = π 则是不稳定的。这意味着，无论初始条件如何，系统最终都会演化到与稳定稳态相对应的状态。

5.3 瞬态动力学与极板运动

研究最出人意料的发现与上极板的瞬态运动有关。与Stewart (2004, 2010) 的模型预测上极板在电场反转后单调上升不同，本模型显示极板的运动方向取决于初始条件。通过引入一个对空间坐标Z有特定依赖关系的微小扰动Δφ(Y,Z)到初始相位角φ₀，模型预测上极板的位移H(τ)会呈现出先升后降或先降后升的振荡行为，最终趋于一个非零的稳态值。这个稳态值可正可负，表明极板最终可能静止在高于或低于其初始位置的地方。公式推导表明，dH/dτ在初始时刻的符号由初始扰动φ的形状函数以及一个与粘度系数和初始平均相位角Φ₀相关的函数H(Φ₀)共同决定。

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5.4 与早期模型的比较

当初始条件设置为φ₀= π - ε（ε为小量）时，本模型给出的相位角φ随时间τ的演化关系与Stewart (2010) 模型的结果在定性上非常相似，均呈指数衰减趋势。然而，对于极板运动H(τ)的预测则存在本质区别。本模型的数值解清晰地展示了H(τ)的振荡行为及其对初始条件的敏感性，这与早期模型的单调上升预测形成鲜明对比。

6. 结论与意义

本研究通过摒弃速度场的先验假设，建立了SmC^*液晶在快速电场反转下更严格的二维瞬态挤压膜模型。研究获得了以下主要结论：

1. 1.
   模型的可解性受粘度系数制约：分析揭示了一个新的可解性条件，表明SmC^*液晶的特定粘度系数组合可能影响挤压流模型解的存在性与唯一性，这对相关流变学测量和建模具有指导意义。
2. 2.
   极板运动具有双向性：上极板在电场反转后的运动并非单向上升，而是可以向下运动，其瞬态轨迹呈现阻尼振荡特性。
3. 3.
   最终状态依赖于初始条件：上极板的最终静止位置（相对于初始位置的高度）并非固定不变，而是敏感地依赖于液晶指向矢的初始空间分布（φ₀(Y, Z)）。这揭示了系统记忆初始状态的能力。
4. 4.
   对早期模型的修正与深化：本研究结果与基于简化速度假设的早期模型在极板运动预测上存在显著差异，凸显了在建模中严格处理流动场的重要性。

这项工作的意义在于，它为我们理解SmC^*液晶的复杂机电耦合行为提供了更深入、更精确的理论框架。它不仅修正了关于“泵浦”方向的传统认识，揭示了初始条件的关键作用，还提出了关于液晶粘度系数的新约束条件。这些发现对于设计和优化基于铁电液晶的微流体泵、传感器和制动器等器件具有重要的理论指导价值。未来的研究方向包括将模型扩展到交变电场情形，以及进行全尺寸数值模拟以验证当前渐近分析的结果。