基于有限混合模型的比特币期权定价：负偏移Gamma与逆高斯分布的应用研究

《Journal of Applied Probability》：Finite mixture models for option pricing: An application to Bitcoin options

本文研究如何利用有限混合模型为比特币期权定价。作者针对传统模型难以捕捉金融收益非正态性的问题，创新性地提出了负偏移Gamma分布和负偏移逆高斯分布的有限混合模型，并引入混合模型以纳入模型不确定性。通过经验特征函数估计方法校准模型，并基于Esscher变换推导出欧式看涨期权的闭式定价公式。实证研究表明，所提模型能产生隐含波动率微笑/偏斜，为加密货币衍生品定价提供了新框架。

　　

在加密货币市场蓬勃发展的今天，比特币作为最具代表性的数字资产，其衍生品交易日益活跃。然而，比特币价格波动剧烈，收益分布呈现出传统金融资产所不具备的显著非正态特征——尖峰、厚尾、有偏，这使得经典的Black-Scholes-Merton模型等基于正态分布假设的定价方法面临严峻挑战。金融收益的真实分布往往并非单一形态，而是可能由多个“状态”或“机制”混合而成，例如，市场可能交替处于“平静”和“动荡”两种状态。有限混合模型（Finite Mixture Models）正是刻画这种多状态性的有力工具，它通过将总体分布表示为几个组分分布的加权平均，能够灵活地捕捉收益分布的尖峰、厚尾、有偏等非正态特征。尽管有限混合模型在金融建模中已有应用，但如何将其有效地应用于新兴的比特币期权定价，并解决模型设定、参数估计和风险中性定价等关键问题，仍是当前研究的难点。

为此，发表在《Journal of Applied Probability》上的这项研究，提出了一套基于离散时间有限混合模型的比特币期权定价理论框架。研究团队的核心目标是开发能够更好刻画比特币收益非正态性的新型有限混合模型，并推导出易于计算的期权闭式定价公式，为市场参与者提供更可靠的定价工具。

研究者采用了理论推导与实证分析相结合的方法。首先，在离散时间经济框架下，引入了有限混合模型来描述资产收益的动态过程。关键的定价步骤是使用在精算科学中久负盛名的Esscher变换来选取定价核（Pricing Kernel），从而确定等价鞅测度（风险中性测度）。这种方法不仅能导出无套利的期权价格，其经济合理性还可通过最大化期望效用（基于状态依赖的幂效用函数）来证明。在模型创新方面，研究者超越了常用的混合正态模型，引入了两种新颖的分布：负偏移Gamma分布（Negative-shifted Gamma, NegSGa）和负偏移逆高斯分布（Negative-shifted Inverse Gaussian, NegSIG），以更好地拟合比特币收益常见的负偏态。更进一步，他们还提出了一种混合有限混合模型（Hybrid Finite Mixture Model），允许其组分分布来自不同的参数分布族（如正态、NegSGa、NegSIG），从而同时捕捉参数不确定性和模型不确定性。在模型估计方面，由于NegSGa和NegSIG分布的最大似然估计可能较为复杂，研究采用了经验特征函数（Empirical Characteristic Function, ECF）估计方法，该方法利用特征函数的闭式表达式，通过最小化经验特征函数与理论特征函数之间的“距离”来估计参数。最终，对于所考虑的各类有限混合模型，研究者成功推导出了欧式看涨期权价格的闭式解（或对于涉及NegSIG分布的情况，解至求解一个非线性方程）。

主要研究结果

1. 1.
   理论框架与风险中性测度
   研究建立了基于条件Esscher变换的离散时间多期定价理论。结果表明，在选定的等价鞅测度P^h?下，混合随机变量Θ的概率质量函数保持不变，而给定Θ=i时，收益R_t的条件分布发生了变换，其矩母函数与真实世界概率测度P下的矩母函数通过Esscher参数h^?(i)相联系。无套利条件等价于存在一组实数h^?(i), i=1,2,…,N，使得对于每个状态i，风险中性化的条件矩母函数满足e^r= M_i(1+h^?(i)) / M_i(h^?(i))。
2. 2.
   不同混合模型的闭式定价公式
   针对四种具体的有限混合模型，研究给出了详细的定价公式：
   • •
     有限混合正态模型：期权价格是各组分Black-Scholes-Merton价格的加权平均，权重为混合概率p_i，即C₀= Σ_i=1^NBSM(S₀, K, T, r, σ_i) p_i。
   • •
     有限混合NegSGa模型：期权价格可表示为C₀= Σ_i=1^NNSGa(S₀, K, T, r, α_i, β_i^?, k_i) p_i，其中NSGa(·)是类似Black-Scholes-Merton公式但基于Gamma分布的函数，β_i^?由风险中性条件确定。
   • •
     有限混合NegSIG模型：期权价格为C₀= Σ_i=1^NNSIG(S₀, K, T, r, a_i, b_i^?, k_i) p_i，其中b_i^?需要通过求解一个非线性方程获得。
   • •
     混合有限混合模型：期权价格是上述三类模型价格的加权和，权重为对应组分的混合概率。
3. 3.
   模型估计与实证分析
   研究利用2020年1月1日至2025年5月29日的比特币-美元每日调整收盘价数据（共1976个观测值），对五个有限混合模型（包括上述模型I-V）和三个非混合基准模型（VI-VIII）进行了估计。估计采用了差分进化（Differential Evolution）算法优化ECF目标函数。结果表明，有限混合模型能够有效识别出不同的“市场状态”，例如一个对应“坏”状态（负收益、高波动）和一个对应“好”状态（正收益、低波动）。混合模型（特别是包含NegSIG分布的模型）对数据的拟合表现与基准模型相当甚至更优。
4. 4.
   比特币期权定价与隐含波动率分析
   应用估计好的模型，计算了不同行权价和期限的欧式看涨比特币期权价格。结果显示，所有模型计算出的期权价格均满足无套利条件（价格随期限增加而增加，随行权价增加而减少）。比较发现，有限混合模型（尤其是混合正态与NegSIG的模型V）给出的期权价格相对保守。更重要的是，有限混合模型（I-III和V）能够产生显著的隐含波动率微笑或偏斜（Implied Volatility Smirk/Skew），即价内期权（ITM）的隐含波动率高于平价（ATM）和价外期权（OTM）。此外，这些模型还产生了不同的隐含波动率期限结构：价内期权呈下降趋势，平价期权近乎平坦，价外期权呈上升趋势，这与传统期权市场的某些观察相符。

结论与意义

本研究成功地将有限混合模型应用于比特币期权定价，建立了一个融合精算科学、金融数学、应用概率、统计学、计量经济学和数据科学知识的理论框架。其主要贡献和创新点在于：提出了能够更好捕捉比特币收益非正态性的新型有限混合模型（NegSGa, NegSIG）以及能同时处理参数和模型不确定性的混合模型；利用Esscher变换这一精算工具优雅地解决了风险中性定价问题；采用了适用于复杂分布估计的ECF方法；并为所有模型推导出了计算高效的闭式（或半闭式）期权定价公式。

实证结果表明，所提出的模型不仅能够对比特币收益数据提供良好的拟合，而且能够产生符合现实市场观察的隐含波动率曲线，这为加密货币衍生品的定价和风险管理提供了更加强大和灵活的工具。对于比特币期权市场的交易者、监管机构和投资者而言，这项研究提供了新的视角和实用的定价方法。

当然，研究也存在一些局限性，例如模型未能纳入条件异方差性或随机波动性，NegSGa和NegSIG分布的支持集有上界可能限制其对大幅上涨的刻画能力，以及参数估计结果对优化算法边界的选取有一定依赖性。这些局限性也为未来的研究指明了方向，例如将有限混合思想与GARCH类模型或随机波动模型相结合，或许能进一步提升模型的表现。