稳健二次信度理论：在极端索赔与厚尾分布下的保费估计创新框架

《Annals of Actuarial Science》：Robust quadratic credibility

本研究针对传统信度模型在极端索赔和厚尾分布场景下稳定性不足的问题，提出了稳健二次信度（RQC）框架。通过引入缩尾变换数据与二阶多项式调整，研究人员建立了兼顾效率与稳健性的保费估计方法。理论分析表明RQC能有效降低均方误差（MSE），实证研究验证其在异质性风险分类中的优越性，为精算实践提供了更可靠的定价工具。

　　

在精算科学领域，信度理论始终扮演着核心角色，它通过巧妙平衡个体索赔经验与整体组合数据，为保费定价提供统计基础。传统Bühlmann和Bühlmann-Straub线性信度模型虽被广泛应用，但其对极端索赔和厚尾分布的敏感性一直是个棘手问题。当保险数据中出现异常值或重尾特征时，这些经典模型的估计结果往往产生显著偏差，如同在平静湖面投入巨石般扰乱保费定价的稳定性。

更令人担忧的是，传统方法主要聚焦于均值估计，而忽略了损失变异性对保费的重要影响。事实上，方差在满足方差保费原理等优良性质方面具有关键作用，仅关注均值可能使风险评估失之偏颇。先前研究虽尝试通过稳健统计方法（如M估计量）或半线性信度（如De Vylder的工作）提升模型稳健性，但均未系统性地将高阶矩信息与数据变换相结合。Le Courtois（2021）提出的q-信度虽引入二次项调整，却仍基于原始损失数据，未能从根本上解决异常值干扰问题。

为突破这些局限，Qian Zhao和Chudamani Poudyal在《Annals of Actuarial Science》上发表了创新性研究，构建了稳健二次信度（Robust Quadratic Credibility, RQC）框架。该研究首次将缩尾变换（winsorization）技术与二次信度模型相结合，通过二阶多项式调整缩尾损失数据（如缩尾矩），实现了对非线性依赖关系的捕捉与极端索赔的稳健处理。这一方法不仅扩展了半线性信度理论，更在保持模型可解释性的同时显著提升了统计效率。

为验证RQC的有效性，作者采用了多维度研究方法：首先建立理论框架，推导出RQC保费的闭式表达式并证明其渐近性质；继而通过参数化案例（指数-逆伽马模型、对数正态-正态模型）展示模型应用；最后利用瑞士保险公司实际数据进行实证分析。关键技术包括基于缩尾变换的矩估计、协方差结构解析、信度因子优化算法，以及针对异质性风险的样本分层分析（其中实际数据源自Bühlmann & Gisler（2005）公开数据集）。

2. 稳健q-信度

研究通过优化问题重构奠定理论基础：将传统信度问题（问题1）扩展为包含二次项的q-信度（问题2），再引入数据变换Y=f(X)得到半线性信度（问题3），最终提出融合二次项与变换数据的RQC优化目标（问题4）。在对称二次损失函数和等权重假设下，证明最优系数具有索引不变性，从而将问题简化为关于样本矩的优化问题。关键引理1建立了变换后数据的矩关系，指出当Y2≠β₀+β₁Y几乎必然成立时，协方差矩阵正定。定理1进一步给出RQC保费闭式解：Prqc=μX1+z1(Y?μY1)+z2(Y2?μY2)，其中信度因子z₁, z₂由结构参数（a,b,...,u）解析表达。与经典信度（公式9）、q-信度（公式10）和半线性信度（公式11）的对比显示，RQC通过协调一阶矩与二阶矩贡献增强稳健性。

2.3 渐近性质

基于Chernoff等（1967）的渐近理论，定理2证明样本缩尾矩的多元正态收敛性。通过推导协方差矩阵Σ的显式表达式（公式26），建立了不同缩尾比例（满足0≤p_j≤p_i<1-q_i≤1-q_j≤1）下条件方差与协方差的关联关系。引理2进一步验证了大样本下结构参数估计的一致性，为实证分析提供理论支撑。

3. 参数化示例

3.1 指数-逆伽马模型

在共轭先验设定下，详细推导了缩尾矩的解析表达式（如μ_Y¹(θ)=θm₁(p,q)）。通过结构参数可视化（图1）发现：随着右缩尾比例q增加，假设均值方差（VHM）较过程方差（EPV）下降更显著；信度因子z₁呈上升趋势而z₂接近零（图2），说明一阶矩主导保费估计，但当q>0.7时因子估计出现不稳定。

3.2 对数正态-正态模型

针对非共轭的对数损失场景，利用分位数函数特性推导出缩尾矩的积分表达式（如μ_Y¹(θ)=e^θm₁(p,q)）。结构参数变化规律与指数-逆伽马模型类似，但z₁与z₂的平衡关系更显著（图4），体现分布特性对模型的影响。

5. 实际数据说明

采用瑞士保险数据（6个策略，样本量8-34）进行实证分析。结果显示：当q=0.05-0.15时，RQC的均方根误差（RMSE）持续低于传统方法；策略5因样本量小且损失波动大，保费估计显著偏高（表2）。敏感性测试中，将策略4的最大观测值放大四倍后，RQC在q=0.1时总保费变化率（3.547%）低于q-信度（4.133%），证明其对异常值的强鲁棒性（表3）。

本研究通过理论推导与实证验证，系统证明了RQC框架在处理极端索赔和厚尾分布方面的双重优势：一方面通过缩尾变换抑制异常值影响，另一方面借助二次项捕捉损失数据的非线性特征。相比传统信度模型，RQC在保持计算效率的同时显著提升预测精度，尤其适用于健康保险、巨灾再保险等高风险场景。未来研究可探索更高阶多项式扩展、多变量信度模型，以及机器学习技术的融合应用，进一步推动信度理论在复杂风险定价中的创新突破。