空间扰动系统中可逆对称周期解的存在性与分岔分析

《Canadian Journal of Mathematics》：REVERSIBLE SYMMETRIC PERIODIC SOLUTIONS IN SPATIAL PERTURBED SYSTEMS

本文研究了三维可逆对称扰动系统在零-Hopf平衡点附近周期解的存在性问题。作者利用Poincaré延拓法，结合系统特有的可逆对称性（Tj），分析了未扰动系统圆形解的延续条件，给出了固定周期和变周期对称周期解存在的充分判据，并计算了特征乘子。该工作为空间扰动系统中对称周期轨道的分岔理论提供了新方法，对理解非线性系统的动力学行为具有重要意义。

　　

在动力系统理论中，周期解的寻找与分类一直是核心课题之一。特别是对于具有对称性的系统，如何利用对称性来简化问题并发现新的周期轨道，成为数学家们持续关注的焦点。三维自治常微分方程系统在零-Hopf平衡点（特征值为±i和0）附近的行为尤为复杂，这类系统在物理学、工程学和生物学中有着广泛的应用背景，如电子电路中的Chua系统、生态学中的捕食者-猎物模型等。当系统受到小参数扰动时，未扰动系统中存在的周期解是否能够延续，以及会分岔出怎样的新解，是理论研究和实际应用中都亟待解决的问题。

传统的研究方法如Poincaré映射理论、平均法等在处理这类问题时往往面临挑战，特别是当系统具有特定对称性时，直接应用这些方法可能无法得到完整结果。本文研究的系统具有可逆对称性，即存在线性对合变换S（满足S2=I），使得向量场在S变换下具有特定性质。这种对称性为寻找周期解提供了强有力的工具，因为根据基本引理，如果解的一个初始点位于对称性的不动点集中，且半周期后的点也落在该集合中，则该解必然是周期解。

研究人员在《Canadian Journal of Mathematics》上发表的这项工作，针对一类特殊形式的三维扰动系统展开研究。该系统可表示为?₁= -x₂+ ε^αf₁(x₁,x₂,x₃) + O(ε^α+1), ?₂= x₁+ ε^αg₁(x₁,x₂,x₃) + O(ε^α+1), ?₃= ε^αh₁(x₁,x₂,x₃) + O(ε^α+1)，其中ε是小参数，α是自然数。当ε=0时，系统退化为?₁=-x₂, ?₂=x₁, ?₃=0，其解为xy平面上的圆周运动，周期为2π。

为分析扰动系统的周期解，作者引入了圆柱坐标变换：x₁=r cosθ, x₂=r sinθ, x₃=z，将原系统转化为关于变量(r,θ,z)的方程。这一变换使得未扰动系统的圆周解表现为简单的形式，便于进行扰动分析。

研究的关键技术方法包括：利用可逆对称性简化周期解的存在性条件；应用Poincaré延拓法构造周期解的近似表达式；通过隐函数定理证明解的存在性；计算周期解的特征乘子分析稳定性；比较不同对称性下的结果差异。特别值得注意的是，作者避免了直接处理可能出现的奇异性问题，专注于r>0的情况。

T_j-可逆对称周期解的存在性

作者首先考虑了两种基本的可逆对称性：T₁(x₁,x₂,x₃)=(-x₁,x₂,x₃)和T₂(x₁,x₂,x₃)=(x₁,-x₂,x₃)。通过将初始条件限制在对称性的不动点集上，并利用对称解的性质，将周期解的存在性问题转化为积分方程的解的存在性问题。结果表明，在适当条件下，存在以ε为参数的单参数或两参数族周期解，这些解接近未扰动系统的圆形解，且具有相同的对称性。

T₃-可逆对称周期解

对于对称性T₃(x₁,x₂,x₃)=(x₁,x₂,-x₃)，其不动点集为z=0平面。作者证明了在该对称性下，存在两类周期解：固定周期为2π的解和周期接近2π的解。存在性条件仅涉及函数h₁的积分性质，这大大简化了问题。如图1所示，周期解由初始条件(r(ε),z(ε)=0)参数化生成，且位于θ=θ₀的平面上。

T_j+4-可逆对称周期解

对于更复杂的对称性T_j+4(x₁,x₂,x₃)=((-1)^jx₁,(-1)^j+1x₂,-x₃)，其中j=1,2，作者也得到了类似的存在性结果。这类对称性同时改变了两个空间变量和z变量的符号，对应的周期解存在于x₁x₂平面附近。

与平均法的比较

作者详细比较了本文方法与平均法在处理可逆对称系统时的异同。结果表明，对于具有T₁或T₂对称性的系统，一阶平均法无法提供有效信息，因为相应的平均函数恒为零。即使考虑高阶平均，仍然无法获得周期解的存在性结果。这种差异凸显了对称性方法在特定情况下的优势。

示例分析

文中提供了多个具体示例，说明理论结果的应用。例如，在示例2.1中，作者考虑了一个具有T₁对称性的多项式系统，通过求解特定的积分方程，得到了周期解存在的显式条件。这些示例不仅验证了理论结果，还展示了方法在实际问题中的可操作性。

本研究系统分析了三维可逆对称扰动系统中周期解的存在性问题，建立了一套基于对称性和Poincaré延拓法的理论框架。研究结果表明，对称性在简化周期解存在问题中起着关键作用，不同类型的可逆对称性导致不同的存在性条件和解的性质。

与传统方法相比，本文提出的方法能够处理平均法无法有效解决的情况，特别是在系统具有强对称性时。此外，作者还计算了周期解的特征乘子，为研究解的稳定性提供了基础。

这项工作不仅深化了对可逆系统中周期解分岔行为的理解，还为处理类似问题提供了新的思路和工具。理论结果的实际意义在于，它们可以应用于各种物理和工程系统，如电子振荡器、机械振动系统和生物节律模型等，其中对称性和周期行为是系统的本质特征。

未来的研究方向包括将该方法推广到更高维系统，考虑更一般的对称群作用，以及研究周期解的分岔和稳定性随参数变化的规律。这些研究将进一步丰富非线性动力系统的理论宝库，并为实际应用提供更多指导。