有界对称域上具内点不动点的全纯自映射的边界刚性

《Canadian Mathematical Bulletin》：THE BOUNDARY RIGIDITY FOR HOLOMORPHIC SELF-MAPS ON BOUNDED SYMMETRIC DOMAINS WITH AN INTERIOR FIXED POINT

本文针对有界对称域上全纯自映射的边界刚性这一核心问题，研究了在域内存在不动点的情形下，映射在边界点的渐近行为如何决定其整体恒等性。作者Feng Rong通过引入纤维化域上的边界刚性定理，将问题转化为对基域（如多圆盘）的Huang型刚性分析，并利用有界对称域的Harish-Chandra实现和Polydisk定理，证明了若全纯自映射在光滑边界点p处满足f(z)=z+o(||z-p||2)，则f必为恒等映射。该结果统一了单位球和多圆盘上的已知刚性定理，推动了复几何中边界刚性理论的拓展。

　　

在复分析领域，全纯映射的边界行为一直是研究的核心问题之一。经典的Burns-Krantz刚性定理表明，若全纯自映射在有界域的强伪凸边界点附近以高阶无穷小逼近恒等映射，则该映射必为恒等映射。此后，Huang将这一结果与内点不动点条件结合，提出了更精细的边界刚性猜想：对于有界强凸域，若全纯自映射存在内点不动点，且在边界点p处满足f(z)=z+o(||z-p||²)，则f恒等。这一猜想在二维情形已被证明，但高维强伪凸域的推广仍具挑战性。近年来，多圆盘等特殊域上的刚性定理相继建立，自然引出一个根本性问题：该刚性是否对所有有界对称域成立？

本文作者Feng Rong在《Canadian Mathematical Bulletin》上发表的论文中，通过系统研究纤维化域上的边界刚性，最终给出了肯定答案。文章的核心创新在于将问题分解为两个层次：首先建立纤维化域上的通用刚性框架，然后利用有界对称域的几何结构验证该框架的适用性。具体地，作者引入“具Shilov边界大小为零的纤维化域”概念，并证明若基域（如多圆盘）满足Huang型刚性，则纤维化域上的全纯自映射在相同边界条件下必恒等。进一步，通过Harish-Chandra实现将任意有界对称域转化为多圆盘上的纤维化结构，并利用Polydisk定理和强Shilov极大值原理，最终证得主要定理。

关键技术方法包括：1）纤维化域构造，将对称域投影为多圆盘基域；2）Shilov边界分析，利用边界大小零条件控制纤维收缩；3）Harish-Chandra坐标下的几何实现，确保域凸性与边界光滑性；4）非切向极限技术，扩展刚性条件的适用场景。

纤维化域上的刚性定理

作者首先定义“好指向基”概念，要求基域D（如多圆盘Δ^r）在边界点p处满足Huang型刚性，且存在从单位圆盘到D的Lipschitz连续全纯映射φ，使φ(1)=p。进一步，若纤维化Ω在D的Shilov边界上满足“纤维收缩”条件（即边界点附近纤维趋于基点），则任何固定基域且满足f(z)=z+o(||z-p||²)的全纯自映射必恒等。该定理通过投影映射g=π°f将问题约化至基域，再结合强Shilov极大值原理消去纤维方向扰动。

有界对称域的几何实现

针对秩r≤n-1的有界对称域，作者利用Harish-Chandra嵌入定理将其实现为Cⁿ中的有界凸域，并选取坐标使极大全测地子流形为r维多圆盘Δ^r。此时，正交投影π:Ω→Δ^r使Ω成为Δ^r上的纤维化域，且由Mok的工作可知该纤维化具有Shilov边界大小零性质。同时，多圆盘作为基域满足好指向基条件，且其强Shilov极大值原理可保证纤维方向映射的消失。

主要定理的证明

通过Polydisk定理将边界点p标准化为(1,0,…,0)，并利用纤维化定理直接导出结论。当r=n时，域为多圆盘，结果由Wang等人工作覆盖；当1≤r≤n-1时，纤维化结构与Shilov边界性质共同确保刚性条件传递。作者特别指出，定义函数ρ的存在性及φ°ρ的次调和性是应用Huang技术的关键，而对称域的凸性天然满足该条件。

本研究彻底解决了有界对称域上Huang型刚性的猜想，将多圆盘和单位球上的结果统一于几何结构更一般的框架中。通过纤维化域理论的构建，作者不仅拓展了边界刚性的适用范围，还为未来研究非对称域或边界条件更弱的情形提供了新工具。此外，证明中揭示的Shilov边界与纤维收缩的关联，可能对多复变函数论中其他刚性问题的研究产生深远影响。