基于分解克里金的多层信息优化方法及其在不确定性设计中的应用

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：Multi-level informed optimization via decomposed Kriging for large design problems under uncertainty

本文针对高维复杂工程问题中传统优化方法计算成本高昂、难以处理不确定性的挑战，提出了一种名为多层信息优化（MLIO）的新框架。该框架通过将问题分解为对称、可分离和无假设三个层次，构建了分解克里金（DKG）代理模型，实现了对不确定性量化（UQ）和优化（OPT）的高效协同处理。研究结果表明，MLIO方法在2至200维的测试函数上均表现出卓越的精度和可扩展性，显著优于传统的多项式混沌展开（PCE）与遗传算法（GA）的组合方法，为复杂系统的稳健设计提供了强大的计算工具。

　　

在工程与科学领域，设计师们常常面临一个两难困境：一方面，他们需要找到最优的设计方案，以最大化性能或最小化成本；另一方面，现实世界充满了不确定性，如材料属性的波动、制造公差或环境条件的变化。传统的优化方法通常假设所有参数都是确定的，这可能导致设计在实际应用中表现不佳，甚至失效。因此，如何在考虑不确定性的前提下进行优化，即“不确定性下的设计”，成为了一个关键挑战。

为了应对这一挑战，研究人员开发了各种方法，其中一种主流策略是“不确定性量化（UQ）”。简单来说，UQ就是评估不确定性对系统性能的影响程度。然而，对于复杂的工程系统，每一次性能评估都可能需要运行一次耗时数小时甚至数天的计算机模拟。当设计变量和不确定参数的数量增加时，所需的计算量会呈指数级增长，这被称为“维度灾难”，使得传统的UQ方法变得不可行。

为了克服计算瓶颈，研究人员转而使用“代理模型”。代理模型就像一个“替身”，它通过学习有限数量的真实模拟数据，来快速预测其他未模拟点的性能。其中，克里金（Kriging）是一种非常强大的代理模型，它不仅提供预测值，还能给出预测的不确定性（即置信区间），这为主动学习提供了依据。然而，传统的克里金方法在处理高维问题时同样会遇到困难，其计算成本会随着维度的增加而急剧上升。

为了解决上述问题，研究人员在《RELIABILITY ENGINEERING》上发表了一项研究，提出了一种名为“多层信息优化（MLIO）”的新框架。该框架的核心创新在于一种名为“分解克里金（DKG）”的算法。DKG将复杂的多变量问题巧妙地分解为三个层次：对称层、可分离层和无假设层。这种分解方式使得算法能够以更少的计算成本捕捉到函数的主要特征，从而显著提高了在高维空间中的建模效率和精度。

为了验证MLIO方法的有效性，研究人员在2维、20维和200维的多种测试函数上进行了广泛的数值实验。这些测试函数涵盖了对称、可分离、多峰、非光滑等多种复杂特性，能够全面评估算法的性能。研究结果表明，MLIO方法在精度和效率上均显著优于传统的“多项式混沌展开（PCE）与遗传算法（GA）”组合方法，以及非分解的克里金方法。MLIO能够以更少的计算资源，更准确地找到不确定性下的最优设计，为解决高维复杂工程系统的稳健设计问题提供了一种强有力的新工具。

主要技术方法

本研究采用了一种创新的多层信息优化（MLIO）框架，其核心是分解克里金（DKG）算法。该算法将高维问题分解为三个正交且分层的部分：对称层、可分离层和无假设层。每个层都构建一个独立的克里金代理模型，分别捕捉函数的不同特征。研究通过一个包含6种不同数学特性的分析测试床（涵盖2维至200维）来验证方法的有效性。性能评估采用归一化绝对误差（IA）和次优性（SO）指标，通过与一个包含100万个样本的参考池进行比较，来衡量方法的准确性和优化效果。MLIO的性能与最先进的方法进行了对比，包括多项式混沌展开（PCE）与遗传算法（GA）的组合、通用克里金（UnivKRG）以及GPyTorch。

研究结果

1. 整体性能优势

在涵盖2维至200维、多种函数特性的综合测试中，MLIO方法展现出卓越的整体性能。与传统的PCE+GA方法、通用克里金（UnivKRG）以及GPyTorch相比，MLIO能够以更少的函数评估次数，达到更低的归一化绝对误差（IA）和次优性（SO）。这表明MLIO在捕捉复杂函数行为和寻找最优解方面具有更高的效率和精度。

2. 稳健优化与随机优化的表现

在稳健优化（即最小化最坏情况）和随机优化（即最小化期望值）两种任务中，MLIO均表现出色。在稳健优化任务中，MLIO在准确性和次优性方面均优于其他方法，能够更可靠地找到对不确定性不敏感的设计。在随机优化任务中，MLIO同样展现出快速收敛和低误差的特性，证明了其在处理不同类型不确定性目标时的通用性。

3. 可扩展性分析

随着问题维度从2维增加到200维，MLIO方法展现出了良好的可扩展性。其性能下降的幅度远小于其他对比方法。这主要得益于其分解策略，该策略将高维问题转化为一系列低维子问题，从而有效缓解了“维度灾难”带来的计算负担。

4. 工程案例验证

在一个工程案例研究中，MLIO方法成功应用于一个复杂系统的设计优化。该案例涉及多个设计变量和不确定参数。MLIO不仅准确地预测了系统的性能分布，还高效地找到了满足稳健性要求的最优设计方案，进一步验证了该方法在解决实际工程问题中的有效性和实用性。

结论与讨论

本研究提出的多层信息优化（MLIO）框架，通过其核心的分解克里金（DKG）算法，成功解决了高维复杂系统在不确定性下进行设计的计算挑战。该方法的创新之处在于将问题分解为对称、可分离和无假设三个层次，从而实现了对函数特征的高效学习和捕捉。

研究结果表明，MLIO方法在精度、效率和可扩展性方面均显著优于传统的PCE+GA方法以及非分解的代理模型。它能够以更少的计算资源，更准确地找到不确定性下的最优设计，无论是对于稳健优化还是随机优化任务。

这项研究的重要意义在于，它为处理高维、复杂且充满不确定性的工程问题提供了一种强大而通用的计算工具。MLIO方法不仅能够加速设计过程，还能提高设计的可靠性，对于推动航空航天、汽车、能源等领域的先进工程系统设计具有重要的应用价值。