超越持续同调的拓扑数据分析与拓扑深度学习综述：从代数拓扑到几何拓扑的跨领域进展

《ARTIFICIAL INTELLIGENCE REVIEW》：Topological data analysis and topological deep learning beyond persistent homology: a review

本文系统评述了超越持续同瘤的TDA与TDL最新进展，研究人员聚焦于解决传统PH在几何演化描述、局部拓扑信息捕捉及特定数据结构适应性等方面的局限，通过发展持续拓扑拉普拉斯算子、持续狄拉克算子、层理论及互作拓扑等新型框架，实现了对点云、流形数据和空间曲线等多类数据的精准拓扑表征，为生物大分子结构分析、药物设计等生物医学研究提供了强大的形状驱动可解释性分析工具。

　　

在当今大数据时代，如何从复杂高维数据中提取稳定、可解释的特征已成为人工智能领域的核心挑战。传统的数据分析方法往往难以捕捉数据背后的本质形状特征，而拓扑数据分析（Topological Data Analysis, TDA）正是为解决这一难题应运而生的新兴交叉学科。作为TDA的重要分支，持续同调（Persistent Homology, PH）通过构建多尺度拓扑空间序列，能够量化描述数据在不同尺度下的拓扑特征（如连通分支、孔洞、腔体等）的诞生与消亡过程，已成为分析点云数据的强有力工具。然而，研究人员逐渐意识到PH存在明显局限：它主要关注拓扑不变量，对过滤过程中几何形状的连续演化不敏感；难以有效捕捉数据的局部拓扑信息；且无法直接应用于微分流形或三维空间中的曲线（如纽结、链环）等特定数据类型。

为突破这些瓶颈，由苏哲、刘翔、Layal Bou Hamdan、Vasileios Maroulas、吴杰、Gunnar Carlsson和魏戈为等学者合作撰写的综述文章《超越持续同瘤的拓扑数据分析与拓扑深度学习综述》，系统梳理了TDA与拓扑深度学习（Topological Deep Learning, TDL）的最新进展。该文发表于《Artificial Intelligence Review》，旨在为领域内新生代研究人员提供全景式技术指南，推动拓扑方法在科学计算与工业界的更广泛应用。

本研究主要采用了以下几类关键技术方法：在代数拓扑方面，重点包括持续组合拉普拉斯算子（Persistent Combinatorial Laplacians）和持续狄拉克算子（Persistent Dirac Operator），它们通过谱分析同时捕获拓扑不变量和几何演化信息；在微分拓扑方面，引入了持续德拉姆上同调（Persistent de Rham Cohomology）和持续霍奇拉普拉斯算子（Persistent Hodge Laplacians），专门处理流形数据并保持边界条件；在几何拓扑方面，发展了多尺度高斯链环积分（Multiscale Gauss Linking Integral）、持续琼斯多项式（Persistent Jones Polynomial）和持续霍瓦诺夫同调（Persistent Khovanov Homology），用于分析三维空间中的曲线纠缠结构。此外，研究还涵盖了层理论（Sheaf Theory）、迈耶拓扑（Mayer Topology）和互作拓扑（Interaction Topology）等新兴框架，以及多种拓扑表示的向量化方法（如持久条形码、持久景观、持久图像等），以适配机器学习模型输入要求。

代数拓扑方法

针对点云数据，研究团队系统阐述了超越PH的代数拓扑工具。持续组合拉普拉斯算子通过其谐波谱（零特征值）完全恢复PH的拓扑信息，而非谐波谱则编码了过滤过程中几何形状的演化细节。这一特性使其在描述同伦几何形状变化方面优于PH。持续狄拉克算子作为拉普拉斯算子的“平方根”，作为一阶微分算子对局部特征更敏感，并为量子计算实现指数级加速提供了可能。层理论通过为每个单形分配向量空间及限制映射，有效描述了带有标签或权重数据的局部拓扑特征。迈耶拓扑则通过推广边界算子满足?^N=0（N≥2）的条件，揭示了单形跨维度的连接关系。互作拓扑专注于分析复杂系统中组件间的相互影响，为分子内原子间局部相互作用建模提供了新视角。

微分拓扑方法

对于微分流形数据（如医学影像中的三维体积），研究强调了微分拓扑方法的必要性。持续德拉姆上同调理论通过微分形式研究流形的拓扑结构，其谐波场与流形的上同调群直接对应。持续霍奇拉普拉斯算子在拉格朗日表述（基于四面体网格）和欧拉表述（基于笛卡尔网格的水平集函数）下均实现了离散化计算。特别值得注意的是，在流形边界存在时，霍奇分解可进一步细化为五分量分解（梯度场、旋度场、法向调和场、切向调和场及交叉项），从而能够精确分析向量场中的不同动力学特征。该方法在计算流体动力学和单细胞RNA速度分析等领域已展现出显著优势。

几何拓扑方法

针对三维空间中的曲线数据（如蛋白质结构、DNA链），几何拓扑方法提供了独特的分析视角。多尺度高斯链环积分通过计算曲线分段间的链环数，量化了局部和全局的纠缠特性。持续琼斯多项式则通过构建曲线分段的Vietoris-Rips过滤，为开曲线和闭曲线的拓扑复杂性提供了连续度量。持续霍瓦诺夫同调通过平滑变换链环图中的交叉点产生过滤，不仅继承了经典霍瓦诺夫同调区分纽结的强大能力，还能揭示曲线数据的局部拓扑结构演化。这些方法为研究生物大分子的结构-功能关系提供了新途径。

机器学习特征化

论文详细讨论了不同数据类型（点云、网络、流形、序列、曲线等）适用的拓扑建模策略，并系统总结了拓扑表示的向量化方法。对于持续同调产生的持久条形码，常用特征化方法包括统计汇总（如条长统计）、函数表示（如贝蒂曲线、持久景观）、代数构造（如热带坐标）以及基于核函数的方法（如持久尺度空间核）。对于持续拉普拉斯算子，其特征值谱（特别是非零特征值）提供了丰富的几何信息，可直接用于机器学习模型。而对于霍奇拉普拉斯算子，其特征向量场还可通过霍奇分解生成多通道图像表示，极大丰富了特征表达能力。

本研究通过系统梳理TDA与TDL的最新进展，清晰展示了超越PH的拓扑方法在生物医学领域的巨大潜力。在应用层面，这些方法已在蛋白质-配体结合预测、蛋白质工程、单细胞RNA序列分析、SARS-CoV-2变异株进化预测等方面取得显著成功。例如，基于持续拓扑拉普拉斯算子的模型在D3R Grand Challenges中表现卓越，并成功提前约两个月预测到SARS-CoV-2变异株BA.4/BA.5的崛起，凸显了拓扑方法在应对复杂生物系统时的优势。

总结而言，这篇综述不仅为研究人员提供了选择适当拓扑工具的实用指南，也指明了未来发展的多个重要方向：局部拓扑方法的进一步完善、序列数据专用TDA技术的开发、持续指标理论的建立，以及低维拓扑方法在生物聚合物和神经网络分析中的深入应用。随着大型语言模型等新一代人工智能技术的发展，拓扑方法与AI的深度融合必将为科学发现和工程应用开辟新的前沿。