基于Toeplitz结构的多相干源无分解DOA估计算法及其FPGA实现

《IEEE Access》：Decomposition-Free DOA Estimation Method for Multiple Coherent Sources

本文推荐一种针对均匀线性阵列(ULA)中多相干源波达方向(DOA)估计的无分解新算法。该研究旨在解决传统子空间方法(如MUSIC、Root-MUSIC)因依赖特征值分解(EVD)/奇异值分解(SVD)和空间平滑预处理而导致的计算复杂度高、实时性差及孔径损失问题。研究人员通过构建Toeplitz结构数据矩阵、实值变换、矩阵分块及多项式求根，实现了无需协方差矩阵与矩阵分解的DOA估计。仿真与NI PXIe-7993 FPGA硬件实验表明，该方法在保持高精度估计的同时显著降低了计算复杂度与资源消耗，尤其适用于相干源场景及实时嵌入式系统。

　　

在雷达、声纳、5G/6G大规模MIMO波束成形等众多阵列信号处理应用中，精确且快速地估计信号的波达方向(Direction of Arrival, DOA)至关重要。传统的高分辨率子空间类算法，如多重信号分类(MUSIC)和旋转不变技术(ESPRIT)，虽然在理想条件下性能优异，但其核心依赖于计算昂贵的矩阵分解操作，如特征值分解(Eigenvalue Decomposition, EVD)或奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)。当信号源高度相关或完全相干时（常见于多径环境），这些方法的性能会急剧下降，通常需要额外的预处理步骤（如空间平滑）来恢复信号子空间的秩，但这又会牺牲阵列孔径并进一步增加计算负担。随着阵列规模增大和对实时处理需求的提升，开发一种既能有效处理相干源，又无需复杂矩阵分解的低复杂度DOA估计算法，成为了一个亟待解决的关键挑战。

为了应对这一挑战，研究人员在《IEEE Access》上报道了一项创新性研究，提出了一种完全无需矩阵分解的DOA估计方法。该方法巧妙地利用了均匀线性阵列(Uniform Linear Array, ULA)接收数据固有的Toeplitz矩阵结构，通过一系列结构化矩阵操作替代传统的协方差矩阵构建与分解步骤，最终通过多项式求根直接获取DOA估计值，从而在算法层面实现了计算效率的飞跃。

研究人员开展此项研究主要运用了几个关键技术方法：首先，直接利用接收数据向量构建Toeplitz结构矩阵，避免了显式计算协方差矩阵。其次，通过共轭平滑（等效于前后向平均）将复数Toeplitz矩阵转化为实值对称矩阵，显著降低了后续处理的运算量。接着，将实值矩阵划分为特定结构的子块，利用子块间的线性关系构造一个其零空间包含信号方向信息的矩阵W。最后，通过形成多项式矩阵并求取其根，这些根的相位直接对应信号的到达角。该方法的核心在于完全规避了EVD/SVD等分解操作。算法性能通过MATLAB仿真在不同信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)、快拍数和阵列规模下进行了验证，并最终在NI PXIe-7993 FPGA平台上完成了硬件实现，以评估其资源消耗和实时性。

系统模型与算法设计

研究采用了一个具有2N+1个阵元的ULA模型。入射到阵列的K个窄带远场信号其DOA为θ₁, θ₂, ..., θ_K。算法的第一步是对L个快拍的接收数据向量进行平均。核心创新在于后续步骤：首先，利用平均后的数据向量直接构造一个(N+1)×(N+1)的Toeplitz矩阵Y。然后，通过Y与其共轭转置Y^H相加得到矩阵?，此操作增强了算法对相干源的解相关能力。紧接着，通过一个特定的变换（涉及反对角线元素为1的置换矩阵J）将复数矩阵?转换为实值矩阵?_r，这为后续的硬件友好型处理奠定了基础。

矩阵分块与多项式形成

算法将实值矩阵?_r按特定规则进行分块，得到若干子矩阵R₁₂, R₁₃, R₂₁等。基于这些子矩阵，构造出两个关键矩阵ψ₁和ψ₂，并进一步组合成一个块矩阵W。理论分析表明，信号的导向矢量矩阵A(θ)位于W的零空间中。利用这一性质，通过一个酉矩阵U对W W^H进行变换，最终生成一个多项式G_n。求解该多项式的根，并筛选出最接近单位圆的根，其相位即包含了DOA信息，最终通过反余弦运算得到具体的角度估计值。

计算复杂度分析

研究对提出的方法(Proposed Method, PM)进行了详细的计算复杂度分析，并与两种代表性的现有算法（TS_DOA, SS_DOA, TK_DOA）进行了对比。分析结果表明，PM在所有测试的阵列规模（N从8到256）下，均需要最少的算术运算次数。例如，当N=256时，PM的运算量仅为SS_DOA的约55.5%，TK_DOA的约0.2%，TS_DOA的约4.4%。这清晰地证明了PM在计算效率上的显著优势，其复杂度随阵列规模的增长更为平缓，展现出优异的可扩展性。

数值仿真与性能验证

通过大量的MATLAB蒙特卡洛仿真，研究人员评估了PM在不同条件下的性能。仿真场景包括不同数量的相干与非相干源、变化的SNR（从-5 dB到30 dB）、快拍数（从1到500）以及阵列规模。

结果表明，PM在低快拍数（如5个快拍）和低SNR（如-5 dB）条件下仍能保持可靠的估计精度。对于紧密间隔的相干源（如间隔2°），PM也表现出良好的角度分辨能力。与Root-MUSIC、SS_DOA、TS_DOA和TK_DOA等算法的对比显示，PM在多数相干源场景下的估计精度（以均方根误差RMSE衡量）优于或相当于对比算法，尤其是在多相干源情况下，其性能明显优于因相干性而失效的传统Root-MUSIC算法。

FPGA硬件实现与性能评估

为了验证算法的实际可行性，研究团队在NI PXIe-7993 FlexRIO FPGA模块上实现了PM。采用了一种混合架构：算法前6个步骤（到生成多项式系数为止）在FPGA上以流水线方式实现，使用16位定点算术以优化资源；最后的多项式求根和DOA计算则在主机处理器上完成。

资源评估显示，PM在FPGA上仅消耗44个时钟周期即可完成多项式系数的计算，总延迟极低。与已有的FPGA DOA实现方案相比，PM在数字信号处理器(DSP48)资源消耗上大幅降低，并且具有最低的延迟。混合模式下的总执行时间约为61.44微秒，比完全在主机上运行的软件实现快约17倍，比TS_DOA算法快约1481倍，充分证明了其卓越的实时处理能力。

结论与意义

该项研究成功提出并验证了一种针对多相干源的无分解DOA估计算法。该方法的创新性在于完全规避了传统的协方差矩阵计算和EVD/SVD分解，通过利用ULA的Toeplitz结构，结合实值变换和矩阵分块技术，实现了高效、稳定的DOA估计。理论分析和实验结果表明，该方法具有四大核心优势：一是显著降低了计算复杂度，适合大规模阵列；二是天然具备处理相干源的能力，无需空间平滑等预处理；三是算法数值稳定性好，在低SNR和少快拍条件下表现稳健；四是其分解-free和主要基于基本算术运算的特点，使其极其适合在FPGA等嵌入式硬件平台上进行高效实现，为雷达、无线通信等需要实时高精度DOA估计的应用提供了极具吸引力的解决方案。未来工作可探索将该方法扩展到非均匀阵列和更复杂的信号环境中。