全地形起重机吊载轨迹跟踪与摆振抑制的线性时变模型预测控制（LTV-MPC）策略研究

《Machines》：An Integrated Control Strategy for Trajectory Tracking of a Crane-Suspended Load

本文针对全地形起重机在变幅与回转作业中存在的吊载摆振难题，提出了一种线性时变模型预测控制（LTV-MPC）策略。该研究通过欧拉-拉格朗日法建立非线性动力学模型，并设计了LTV-MPC控制器进行实时反馈与轨迹预测。实验结果表明，相较于滑模控制（SMC）和PID控制，LTV-MPC在单输入与双输入控制下均能显著缩短稳定时间（如变幅工况一仅需3.05秒）、降低稳态误差（最低至0.0008°），摆角θ1最大减少91.9%，有效提升了起重机作业的稳定性与效率。

　　

引言

全地形起重机在吊装作业中，由于钢丝绳系统的柔性和加速引起的载荷，货物在起升过程中会产生摆动，这是限制其操作效率的关键因素之一。即使对于熟练的操作员，这也是一项难以克服的挑战。为了应对这一挑战，智能控制算法的研究正在深刻变革工业生产系统。本研究在现有研究基础上，引入了一种改进的模型预测控制（MPC）策略，通过结合线性时变输入，称为LTV-MPC，旨在实现全地形起重机系统吊载的轨迹跟踪和摆动预测。

预测模型的选择

MPC是一种基于模型的优化策略，其在每个采样时刻在一个有限时间域内求解一个最优控制问题。它明确地处理多变量系统中的状态和输入约束，同时展现出优异的轨迹跟踪性能和鲁棒性。全地形起重机是一个典型的欠驱动系统，其自由度数量超过了独立控制输入的数量，状态变量之间存在显著的耦合，使得控制设计复杂化。为了便于研究，将该欠驱动系统简化为一个双输入双输出（TITO）系统：加速度和起升速度作为两个控制输入，而在变幅和回转运动中的摆角θ₁和θ₂则构成两个控制输出。由于在变幅和回转操作期间，系统参数如绳长l和臂架角度α随时间变化，导致系统具有时变性，因此采用LTV-MPC来处理这种时变特性。在每个采样时刻，根据当前的l和α更新系统模型，并随后求解优化问题。

数学模型

利用欧拉-拉格朗日方法建立了起重机在变幅-起升和回转操作期间的简化动力学模型。建模时进行了简化：忽略超起装置，将伸缩臂理想化为均匀直梁，基座固定在坐标原点。载荷被建模为由不可伸长绳索悬挂在臂架头部的质点。定义了臂架头部和载荷在惯性空间中的位置坐标，以及绳索在变幅方向和回转方向相对于垂直线的摆角θ₁和θ₂。通过小角度线性化处理，得到了线性化的系统方程。根据中国规范JGJ276-2012，钢丝绳的最大允许偏角不得超过6°，实践中摆角通常在±10°（0.1745 rad）范围内变化。对于重型机械系统如起重机，阻尼比通常在0.001到0.05之间，本研究通过自由振荡模拟和计算分析，选择了0.0198（四舍五入为0.02）的阻尼比以确保起升过程中的操作安全。

LTV-MPC控制器设计

MPC可以概括为一个三步过程。LTV-MPC通过结合线性时变（LTV）模型扩展了这一框架。该方法在每个时间步更新模型，预测未来状态，并以相对较低的计算开销解决优化问题，使其适用于实时控制应用。设计过程包括预测模型、误差预测和滚动优化三个核心部分。

预测模型基于当前状态x(k)和假定的未来控制序列U(k)，使用离散状态空间表示进行递归预测，得到状态转移矩阵Sx(k)和输入矩阵Su(k)。

误差预测是LTV-MPC的核心目标，指的是在预测范围内预测系统状态（或输出）与期望参考轨迹之间的偏差。该预测误差序列直接决定了优化成本函数J的值。成本函数J的二次型由状态误差和控制输入误差的加权和构成，其中Q和R是块对角加权矩阵。Q矩阵对状态预测误差进行加权，更大的权重强调该步骤的跟踪精度；R矩阵对控制输入误差进行加权，更大的权重意味着更保守地利用控制输入，从而促进更平滑的控制行为，但可能以降低响应速度为代价。Q和R矩阵的选择对LTV-MPC的控制性能至关重要，必须根据系统动力学和控制目标进行专门设计。通常采用权重递减策略，即Q₁> Q₂> ... > Q_N，使优化更侧重于接近当前时间的误差。

滚动优化是MPC区别于其他控制策略的一个定义性特征。在LTV-MPC中，这种方法包括在每个采样时刻k，利用最新的系统状态x(k)和更新的时变模型A(k+i)和B(k+i)，在线求解一个有限时间域优化问题（表述为二次规划问题，QP）。解产生一个最优控制序列u(k)，其中只有第一个元素u(k|k)被实施。所有约束都被明确地纳入每个优化问题，确保在预测模型准确的假设下，所应用的控制输入和预测的状态轨迹都满足所有规定的限制。

单输入控制对比

在单输入控制中，以变幅角度α作为控制输入，比较了LTV-MPC在抑制起重机变幅和回转操作中载荷摆动的效果，并与无控系统响应、SMC和PID控制进行了性能对比。

系统状态变量定义为x = [θ₁, θ?₁, θ₂, θ?₂]^T，控制输入定义为U = [u₁, u₂]，其中α? = α?_ref+ u₁, β? = β?_ref+ u₂。基于线性化的系统方程，构建了状态空间方程，并随后形成一个QP问题，通过施加约束求解控制序列U，并应用第一个控制输入u(k)。

LTV-MPC的参数设计基于其滚动优化机制，并针对起重机“变幅-回转”两阶段操作的时变特性进行权衡，包括控制性能（快速摆角收敛）、计算复杂度（实时性）和输入约束（避免饱和）。预测视野N_p设置为30（30 × 0.05 s = 1.5 s），以确保至少覆盖摆角的一个完整振荡周期。控制视野N_c设置为20，遵循工程经验N_c∈ [0.5 N_p, 0.8 N_p]，以平衡控制自由度与计算负荷。状态加权矩阵Q优先考虑“摆角抑制 > 绳长跟踪”，因此Q_θ1= Q_θ2= 1000，以强调摆角快速收敛到零。控制输入加权矩阵R优先考虑“绳长加速度 < 角加速度”，允许绳长加速度适度变化以补偿摆动，同时限制可能导致机械冲击的过大角加速度。

SMC通过设计滑模面和切换控制律实现鲁棒抗扰，其参数设计基于滑模控制的“可达性”和“稳定性”条件（s?s < 0，其中s是滑模面），同时抑制传统SMC固有的抖振问题。滑模面收敛率λ = 1.5，切换增益k = 0.5，边界层厚度φ = 0.05 rad。

PID控制器采用位置式PID算法，其参数整定结合了“工程试凑法”和“稳定性约束”，主要目标是快速抑制摆角，避免显著超调，并将控制输入保持在其限值内。比例增益k_p= 1.2，积分增益k_i= 0.1，微分增益k_d= 2.0。

单输入控制结果表明，在变幅过程中，LTV-MPC下 payload 摆动抑制的稳定时间为3.05秒，系统稳定在平衡点（设为0°）的0.007°范围内。在回转过程中，变幅方向的摆动抑制在1.15秒内实现（从22秒开始），稳定在平衡点的0.003°范围内。相比之下，SMC需要7.5秒来抑制变幅过程中的摆动，稳定在平衡点的0.154°范围内；在回转过程中，变幅方向的抑制需要3.5秒，残余偏差为0.069°。PID控制需要8秒用于变幅摆动抑制，稳定在平衡点的0.321°范围内；在回转过程中，抑制需要4.35秒，导致残余偏差为0.136°。

在积分绝对误差（IAE）指标上，LTV-MPC控制的θ₁和θ₂的IAE值最低，分别为0.11和0.15，表明其抑制误差积累的性能最佳，其次是SMC，PID控制的效果相对较弱。而无控状态下误差积累严重。从实际工程角度出发，LTV-MPC提供了最高的稳定性能。

双输入控制对比

在双输入控制方案中，变幅角速度和绳索起升速度被指定为两个控制输入。通过这些输入的协调变化，系统能够在确保操作稳定性的同时有效抑制载荷摆动。

双输入控制结果表明，在变幅过程开始时，所有三种方法都表现出相当的初始载荷抑制时间。然而，LTV-MPC保持最接近平衡点，而PID表现出最大的偏差。在回转操作中，特别是在变幅方向控制上，LTV-MPC和SMC都提供了令人满意的性能。

从单输入和双输入场景的比较分析来看，虽然PID实现了载荷摆动抑制，但它带来了更大的平衡偏差和更高的能量消耗。尽管SMC接近LTV-MPC的抑制性能，但其有效性关键取决于滑模面设计，并且存在固有的抖振问题。这种抑制是以稳定性妥协为代价的，限制了在实际工程应用中的可行性。相比之下，LTV-MPC确保了过程平稳过渡、有效的摆动抑制、最小的平衡偏差、降低的能量消耗和增强的稳定性。

鲁棒性测试通过积分平方误差（ISE）指标进行分析。在θ₁方向（以起升阶段为主），SMC实现了最佳的ISE性能，这归因于其滑模控制的不变性原理和对参数变化的低敏感性。LTV-MPC由于模型-对象失配导致在线矩阵更新引入微小误差，表现出略高的平均值和稍大的波动。在θ₂方向（以回转阶段为主），LTV-MPC的预测机制使其能够提前