幂Lindley-X分布：一种新的寿命分布模型及其在生存分析中的应用

《Mathematical and Computational Applications》：Modeling Diverse Hazard Shapes with the Power Length-Biased XLindley Distribution

本文推荐一种新型两参数寿命分布——幂Lindley-X分布（PLXL），该模型在经典Lindley分布基础上引入幂参数，显著提升了模型灵活性。文章系统推导了PLXL分布的概率密度函数（PDF）、风险函数（HRF）的数学性质（如单峰性、倒浴盆形等），采用最大似然估计（MLE）和最小二乘估计（LSE）进行参数拟合，并通过蒙特卡罗模拟验证了MLE的优越性。实证分析表明，PLXL分布在拟合COVID-19疫苗接种率、碳纤维应力及膀胱癌患者缓解时间等真实数据时，其AIC/BIC值均优于Gamma、Weibull、指数化指数（EE）等传统分布，凸显了其在生物统计与可靠性工程中的应用潜力。

　　

引言

幂Lindley-X分布（PLXL）是在经典Lindley分布基础上通过引入幂变换构造的新型两参数寿命分布。Lindley分布因其在建模单调风险函数数据时的局限性，促使研究者开发其广义形式。PLXL分布通过参数λ和θ的调控，能够适应更复杂的寿命数据模式，特别是在生物医学和可靠性工程中常见的非单调风险形态。

分布函数与基本性质

PLXL分布的概率密度函数（PDF）定义为：

f(x) = (λθ³/ (θ²+2θ+2)) x^λ-1(2+θ+x^λ) e^-θxλ, x>0, λ>0, θ>0

其累积分布函数（CDF）具有显式表达式：

F(x) = 1 - [e^-θxλ/ (θ²+2θ+2)] [θ²x^2λ+ (θ³+2θ²+2θ)x^λ+ (θ²+2θ+2)]

这种封闭形式便于处理删失数据。生存函数（SF）自然由S(x)=1-F(x)给出。

概率密度函数的形状分析

通过研究PDF的一阶导数，发现其形状由参数λ和θ共同决定：

• •
  当0<λ≤1 3, θ>0 或 1/3<λ<1 2, θ≥√(2λ (1-λ))-1>
• •
  当λ>1/2, θ>0 时，PDF呈单峰形态。
  这种灵活性使PLXL能够拟合右偏、左偏等多种数据分布。图示通过参数组合（如λ=0.4, θ=0.2的递减PDF；λ=1, θ=0.5的单峰PDF）直观展示了这一特性。

风险函数的变化特征

风险函数（HRF）是生存分析的核心：

h(x) = [λθ³x^2λ-1(2+θ+x^λ)] / [θ²x^2λ+ (θ³+2θ²+2θ)x^λ+ (θ²+2θ+2)]

其形状可通过研究导数符号变化进行分类：

1. 1.
   递增型HRF：当λ≥1, θ>0 时，风险随时间持续上升；
2. 2.
   递减型HRF：当0<λ≤1 3, θ>0 等条件下，风险逐渐降低；
3. 3.
   倒浴盆型（IBT）：当1/3<λ<1 2,><θ<√(2λ (1-λ))-1>
4. 4.
   递减-递增-递减型：特定参数区间下出现更复杂的非单调形态。
   总时间检验（TTT）图被用于辅助判断HRF形状，凸-凹形态对应IBT，凹-凸对应浴盆形。

矩与模拟生成

PLXL分布的r阶原点矩可解析表示为：

E(X^r) = [Γ((2λ+r)/λ) (r+(θ²+2θ+2)λ)] / [λθ^r/λ(θ²+2θ+2)]

其中Γ(·)为Gamma函数。该表达式便于计算均值、方差等数字特征。

随机数生成采用混合分布法：以概率p=(θ²+2θ)/(θ²+2θ+2)从广义Gamma分布GG(2,λ,θ)抽样，以概率1-p从GG(3,λ,θ)抽样，结合均匀分布判定实现高效模拟。

参数估计与模拟比较

采用最大似然估计（MLE）和最小二乘估计（LSE）进行参数拟合。对数似然函数为：

ln L = n ln(λθ³/(θ²+2θ+2)) - θ∑x_i^λ+ ∑ln(2+θ+x_i^λ)

通过求解得分函数方程组获得MLE。LSE通过最小化∑[F(x_(i))-i/(n+1)]²得到。

蒙特卡罗模拟（N=10,000次）显示：

• •
  MLE的均方误差（MSE）普遍低于LSE；
• •
  随着样本量n（20, 50, 100, 150）增大，两种估计的MSE均下降，且差异缩小；
• •
  MLE在中小样本下更具优势，大样本时两者渐近等价。

实证分析

完全数据建模

数据集1（46国COVID-19疫苗接种率）：TTT图显示递减型HRF。PLXL的拟合优度（K-S检验p值0.923）显著优于Gamma、Weibull等分布，其AIC（127.3）、BIC（131.0）均为最低。

数据集2（69个碳纤维失效应力）：HRF呈递增型。PLXL的K-S统计量（0.042）远小于对比模型，再次确认其优越性。

残差QQ图与直方图显示PLXL能很好地捕捉数据分布特征。

删失数据建模

数据集3（139例膀胱癌患者缓解时间，含右删失）：TTT图表明HRF呈倒浴盆形。PLXL与广义逆指数（GIE）、逆Gamma（IG）、逆Weibull（IW）、逆幂Lindley（IPL）、对数正态（LN）、Lindley-指数（LE）等分布比较，其AIC（540.2）和BIC（546.1）均为最优，证实其对复杂生存模式的适应能力。

结论

幂Lindley-X分布通过简单的函数结构实现了对风险函数多种形态的灵活拟合，其参数估计稳定，计算效率高。在生物医学（疾病缓解时间）、材料科学（纤维强度）及公共卫生（疫苗接种）等领域的实证表明，PLXL较传统分布具有明显优势。未来工作可拓展至多元PLXL分布、回归模型及更复杂的删失数据处理框架，进一步扩大其在生存分析中的应用范围。