基于径向基函数配点法求解界面问题的抛物型方程数值模拟新策略

《Mathematical and Computational Applications》：A Hybrid Numerical Framework Based on Radial Basis Functions and Finite Difference Method for Solving Advection–Diffusion–Reaction-Type Interface Models

本文提出了一种基于多重二次曲面径向基函数（MQ-RBF）的配点法，用于高效求解具有界面条件的线性与非线性抛物型对流-扩散-反应（ADR）方程。该方法通过时间离散化与拟牛顿线性化处理非线性项，在空间域采用分区策略逼近解，有效处理了界面处的跳跃条件。数值实验表明，该算法在求解一维和二维问题时具有高精度和良好稳定性，为复杂界面问题的数值模拟提供了新思路。

　　

引言

抛物型对流-扩散-反应（ADR）方程在物理、生物、工程等领域广泛应用，例如污染物传输、热传导、流体动力学和生物组织中的分子扩散等过程。许多实际问题涉及异质介质或复合区域，导致控制方程中出现界面条件。这些界面条件描述了物理参数（如扩散系数、对流速度或反应速率）在界面处的间断性，以及解或其通量在界面处的跳跃行为。精确高效地数值求解这类界面问题具有重要理论意义和实际价值。

传统数值方法（如有限差分法、有限元法）在处理界面问题时可能面临挑战，尤其是在处理复杂几何形状或强非线性项时。近年来，无网格方法因其在处理复杂几何和自适应计算方面的优势而受到关注。径向基函数（RBF）方法是一类重要的无网格方法，它通过基于距离的基函数来逼近解，无需网格生成，特别适用于高维问题和不规则区域。

方法

本文发展了一种基于多重二次曲面（MQ）径向基函数的配点法（MQ-RBF-CM）来求解带界面条件的线性与非线性抛物型ADR方程。考虑的一般问题形式包含时间导数项、对流项、扩散项和反应项，其系数在空间界面处允许间断。此外，方程右端可能包含源项f(s, T)。问题的定义域被界面点ξ划分为两个子区域??₁= [0, ξ] 和 ??₂= [ξ, 1]。在每个子区域上，解函数v(s, T)分别用v₁(s, T)和v₂(s, T)表示。

该方法的核心思想是在每个子区域上独立使用MQ-RBF来逼近解。MQ-RBF的形式为φ(r) = √(r²+ c²)，其中r是计算点与中心点的距离，c是形状参数。近似解表示为一系列RBF的线性组合，未知系数通过满足控制方程、初始条件、边界条件以及界面条件来确定。

对于时间导数，采用欧拉格式进行离散化。对于非线性问题，采用拟牛顿线性化技术进行处理，将非线性项在已知时间层上进行线性展开，从而将非线性问题转化为一系列线性问题逐步求解。

界面条件的处理是关键步骤。本文考虑的界面条件包括解在界面处的连续性条件v₂(ξ, T) = v₁(ξ, T)，以及通量连续性条件[ζ₂(ξ, T) - κ_2s(ξ, T)]v_2s(ξ, T) - [ζ₁(ξ, T) - κ_1s(ξ, T)]v_1s(ξ, T) = m₂(T)。这些条件确保了物理量在界面处的合理行为。

将RBF近似表达式代入离散后的方程和各类条件中，并在每个子区域选取一组配点（包括内部点、边界点和界面点），最终得到一个关于RBF展开系数的线性代数方程组。求解该方程组即可获得当前时间层的近似解，进而逐步推进时间演化。

稳定性分析

数值方法的稳定性是保证计算结果可靠性的重要因素。本文通过分析系数矩阵的条件数来考察所提方法的稳定性。研究表明，当配点数量N足够大（N > N₀）时，系数矩阵的逆矩阵的范数∥L^-1∥保持有界，且由常数C控制，不随N的增大而显著增长。这一结果表明该方法具有良好的数值稳定性，适用于大规模计算。

数值实验进一步验证了稳定性结论。对于线性和非线性问题，在不同配点数下，系数矩阵的条件数均保持在合理范围内，未出现病态性急剧恶化的情况，证实了该方法在实际应用中的可靠性。

数值结果与讨论

为验证所提方法的有效性和精度，本文进行了多个数值算例测试，包括线性和非线性界面问题。

问题1考察了一个一维线性抛物型界面问题，其中对流系数ζ(s, T)和扩散系数κ(s, T)在界面s=0.5处存在间断。精确解设为v₁(s, T) = s³cos(T)/3 (0 ≤ s ≤ 0.5) 和 v₂(s, T) = s³cos(T) (0.5 ≤ s ≤ 1)。通过选取不同数量的配点（如N=18, 24等）和时间步长（如ΔT/N=0.03, 0.004等），计算了数值解并与精确解进行比较。结果表明，该方法能够高精度地捕捉解的行为，最大绝对误差随着配点数的增加而显著降低，达到10^-5至10^-6量级。与Haar小波配点法（HWCM）和浸入界面法（IIM）的比较显示，MQ-RBF方法在精度上具有竞争优势。

问题2研究了另一个一维线性问题，具有不同的系数函数和界面条件。精确解设为v₁(s, T) = (s+1)cos(T) (0 ≤ s ≤ 0.5) 和 v₂(s, T) = scos(T) (0.5 ≤ s ≤ 1)。数值结果再次证实了该方法的高精度和有效性。即使对于解函数本身在界面处连续但导数可能间断的情况，该方法也能很好地处理。

问题3、4、5则探讨了更复杂的场景，包括非线性源项、变系数以及二维问题。对于非线性问题，结合拟牛顿线性化技术，该方法依然表现出良好的性能。数值解与精确解的高度吻合说明了该方法处理非线性界面问题的能力。二维算例的成功实施进一步展示了该方法在处理高维问题方面的潜力。

误差分析通过计算最大绝对误差E_c(N) = ∥v^exact- v^approx∥_∞来进行。所有算例均观察到随着配点数N的增加，误差呈现收敛趋势，验证了方法的数值收敛性。

结论

本文系统阐述了一种基于多重二次曲面径向基函数配点法求解带界面条件的抛物型对流-扩散-反应方程的有效数值策略。该方法的核心优势在于其无网格特性，避免了复杂网格生成的困难，尤其适用于不规则区域和移动界面问题。通过分区策略和精确施加界面条件，成功处理了系数和解在界面处的间断性。

数值实验结果表明，该方法对于线性和非线性问题均具有高精度和良好的数值稳定性。与现有方法（如HWCM、IIM）相比，在求解此类界面问题时展现出优越的性能。该方法为模拟涉及异质介质传输、多物理场耦合等复杂界面问题提供了一个强有力的数值工具。

未来的研究工作可以集中于将该方法推广到更复杂的非线性项、随时间演化的移动界面问题以及更高维度的空间域。此外，优化形状参数c的选择策略，以及发展自适应配点技术，有望进一步提高方法的效率和适用范围。