随机变量凸序与One-X性质：理论反例与插值关系探究

《Risks》：From Stochastic Orders to Volatility Surfaces: Revisiting the One-X Property

本文深入探讨了随机变量间凸序（convex order）与One-X序（One-X order）的深刻联系。作者通过构造精妙的反例，证明了“凸序必然蕴含One-X序”这一猜想不成立，并进一步建立了在有限交点条件下，凸序等价于有限步One-X插值（即D*序）的重要定理。文章系统回顾了总正性（TP2）、反规则性（RR2）及密度比单峰性等概念，并论证了后者是保证One-X性质的充分条件，为金融衍生品定价（如日历价差无套利）及风险比较提供了坚实的理论框架。

　　

随机变量的序关系在概率论、统计学、金融数学及风险度量等领域具有基础性地位。其中，凸序（≤_cx）和其强化版本——增加凸序（≤_icx）尤为重要。直观上，X ≤_cxY 意味着Y比X更具“变异性”或“风险”，同时二者均值相等。一个长期存在的猜想（Conjecture 1）是：如果两个非负随机变量X和Y满足凸序（X ≤_cxY）且均值相等，并且它们的累积分布函数（CDF）有且仅有一个交点，则它们必然满足更强的One-X序（记为X ≤_One-XY）。One-X序要求两个CDF只能相交一次，且满足特定的符号模式（通常为-，+），这在金融上对应着日历价差期权的无套利条件。

凸序、One-X序及其关系

文章首先回顾了凸序和One-X序的严格定义。凸序X ≤_cxY定义为对所有凸函数φ，有E[φ(X)] ≤ E[φ(Y)]成立。这意味着Y的二阶随机占优于X。One-X序（或危险序，≤_D）则要求其CDF F_X和F_Y在定义域上仅相交一次，且交点前后满足F_X(x) - F_Y(x)的符号从负变为正。一个重要结论是，One-X序是凸序的充分不必要条件，即X ≤_One-XY 可推出 X ≤_cxY，但反之则不一定成立。Conjecture 1探讨的是在CDF单交点的附加条件下，凸序是否能反向推出One-X序。

一个凸序而非One-X序的反例

文章的核心贡献之一是构造了一个明确的反例，证明了Conjecture 1不成立。该反例构造了两个非负随机变量X₁和X₂，它们都是三个独立随机变量（两个Gamma分布，一个Weibull分布）以特定概率混合而成。通过选取特定的分布参数（如形状参数和尺度参数），并利用Gamma分布和Weibull分布间已知的凸序充分条件（例如，对于Gamma分布，若α₁> α₂且 α₁β₁≤ α₂β₂，则G(α₁, β₁) ≤_cxG(α₂, β₂)），可以确保每个混合分量之间满足凸序，进而由凸序在混合运算下的封闭性，得到X₁≤_cxX₂。计算和绘图显示，X₁和X₂的CDF相交了两次（在x≈0.5和x≈3附近符号变化为-,+,-,+，以及在x≈20和x≈40附近符号变化为-,+），违反了One-X序所要求的单交点条件。这个反例有力地否定了Conjecture 1。

有限交点下的One-X插值定理

尽管Conjecture 1在一般情况下不成立，文章证明了在CDF仅有有限次交点的自然假设下，一个优美的“插值”定理成立。定理指出：如果X ≤_cxY且它们的CDF相交n次，那么存在一个有限的随机变量序列Z₁, Z₂, ..., Z_n，使得X = Z₁≤_One-XZ₂≤_One-X... ≤_One-XZ_n= Y。换言之，任何具有相同均值和有限交点的凸序关系，都可以分解为有限步连续的One-X序关系。这个结果为理解凸序的微观结构提供了重要视角，将全局的凸序性质与局部的One-X性质联系起来。证明思路利用了Müller关于危险序（≤_D）的闭包（≤_D^*）在均值相等时等价于凸序的经典结果，并注意到在均值相等的条件下，≤_D序等价于≤_One-X序。

TP₂, RR₂与密度比单峰性

文章的另一个重点是将统计学和可靠性理论中的经典概念——总正性（Total Positivity of Order 2, TP₂）、反规则性（Reverse Rule of Order 2, RR₂）以及密度比单峰性（Unimodality of Density Ratio）与One-X性质建立联系。TP₂和RR₂是描述二元函数在变量排序下其行列式符号性质的概念。对于概率密度函数f(x,θ)，若f(x,θ)是TP₂的，则意味着似然比f(x,θ₂)/f(x,θ₁)关于x是单调递增的（当θ₂> θ₁）。RR₂则对应单调递减。密度比单峰性是指两个密度函数f₁(x)和f₂(x)的比值h(x) = f₁(x)/f₂(x)是单峰的，即先增后减。

文章指出，如果两个随机变量（例如，代表不同到期日资产价格的边际分布S_t1和S_t2）的密度比是单峰的，并且它们具有相同的均值（在无股息或远期定价下，这常对应于鞅性），那么它们必然满足One-X性质。其证明思路是，密度比单峰性会导致其对数导数ρ₂(x) - ρ₁(x)（其中ρ_i(x) = d/dx ln f_i(x)）的符号变化次数S^-(ρ₂- ρ₁)为1，且符号模式为-,+。根据Belzunce等人的结论，这可以推出其密度差f₂(x) - f₁(x)的符号变化次数S^-(f₂- f₁)不超过2，并结合均值相等的条件，可以最终推导出CDF的交点情况满足One-X序的定义。这一结果为在实践中验证One-X性质提供了易于操作的充分条件。许多常见的分布族，如尺度族、Gamma族、Weibull族（在特定参数范围内）等都满足密度比单峰性。

总之，这篇论文通过严谨的理论分析和反例构造，澄清了凸序与One-X序之间的微妙关系，否定了一个常见的猜想，并建立了在有限交点下的等价插值表示。同时，文章将密度比单峰性等实用概念与One-X性质联系起来，为金融工程中的无套利定价和风险管理提供了更深层次的理论依据和实用的检验工具。