基于WRBF神经网络的四旋翼无人机自适应分数阶非奇异终端滑模控制研究

《PLOS One》：Adaptive fractional-order non-singular terminal sliding mode control for omnidirectional quadrotors based on WRBF neural network

本文提出了一种针对倾转旋翼四旋翼无人机（UAV）在不确定性和干扰下的六自由度（6-DOF）轨迹跟踪控制新策略。该研究的核心贡献在于构建了一个统一框架，协同设计了分数阶非奇异终端滑模控制器（FONTSMC）与自适应小波径向基函数（WRBF）神经网络，形成了深度集成架构而非简单模块组合。该协同结构引入三大创新：WRBF网络实现了对非结构化不确定性的精确在线估计与补偿，而分数阶非奇异终端滑模面确保了快速有限时间收敛且无奇异性；与常规高斯RBF网络相比，墨西哥帽小波激活函数显著提升了局部逼近精度、学习速度及噪声鲁棒性；结合基于Moore-Penrose伪逆分配法的并行控制结构，可将合成的6-DOF指令高效映射至冗余执行器。通过李雅普诺夫分析严格保证了闭环稳定性。综合仿真表明，所提控制器在跟踪精度、收敛速度、控制能耗及响应平滑度方面均优于传统NTSMC和RBF-FONTSMC方法，证实了其在复杂无人机操作中的卓越能力。

　　

引言

近年来，无人机凭借其机动性、灵活性及先进的控制能力被广泛应用于电力线巡检、消防、土地测绘和精准农业等多个领域。随着研究的深入，各种具有可靠性和增强性能的无人机被开发出来，包括多旋翼、固定翼和混合型无人机。然而，传统的多旋翼无人机是欠驱动的，其位置与姿态之间固有的耦合关系阻碍了六自由度全向运动，从而限制了其在特定任务中的应用。为克服这些限制，独立倾转四旋翼的概念被提出。倾转旋翼机构将多旋翼无人机从欠驱动系统转换为过驱动系统，有效解耦了位置和姿态动力学。尽管如此，倾转机构独特的动力学特性，结合科里奥利效应和外部干扰，使得控制器设计变得异常复杂。

为应对这些挑战，研究者们探索了各种先进控制策略，包括混合控制、模型预测控制（MPC）、自适应控制、有限时间控制、反步控制以及滑模控制（SMC）。其中，SMC因其简单性、易于调整以及对匹配不确定性的内在鲁棒性而持续受到关注。近期研究指出，选择合适的滑模面及相关控制增益对决定SMC的整体性能起着决定性作用。然而，传统SMC仅能保证系统状态随时间逐渐接近平衡点，无法保证有限时间收敛。非奇异终端SMC（NTSMC）的引入有效解决了这一问题，在避免控制律奇异性问题的同时保证了有限时间收敛。NTSMC的通用性和鲁棒性已在多种系统中得到验证，例如在伺服电机中实现连续有限时间控制、稳定欠驱动柔性关节机器人以及实现实用的自适应快速终端滑模控制。尽管如此，在显著的系统噪声下，滑模控制器仍可能发生抖振，影响控制精度和执行器寿命。为缓解此限制，分数阶滑模控制（FONTSMC）被引入，它结合了分数阶微积分的记忆和遗传特性，有助于平滑控制动作同时保持鲁棒性。这种方法不仅能有效抑制抖振，在处理复杂非线性动力学方面也表现出更强的能力，例如在多关节机器人和伺服系统中的成功应用。更近期的研究报道了用于永磁同步电机的固定时间FONTSM方案，显示出更快的收敛特性和改进的抗扰能力，以及在系统不确定性下保持平滑运行的极限学习机增强型超螺旋控制器。尽管分数阶非奇异终端SMC（FONTSMC）集成了有限时间收敛和降低的抖振特性，但其性能仍然强烈依赖于精确系统模型的可用性，而这对于像倾转旋翼无人机这样的高度耦合非线性系统是极难获得的。

为减轻对精确建模的依赖，各种鲁棒补偿技术被提出。其中，神经网络（NNs）因其强大的逼近能力和在线学习潜力而脱颖而出。例如，径向基函数（RBF）神经网络已成功用于估计四旋翼的干扰。此外，RBFNNs的鲁棒性已扩展到容错控制领域，用于在线逼近无人机系统中的系统故障和不确定性，增强了执行器故障下的可靠性。然而，传统高斯RBF的性能瓶颈——即其在高度非线性动力学下的有限泛化能力和慢收敛速度——日益被认识到。这一局限性在我们之前为缆驱机械臂开展的FONTSMC工作中已显现，传统RBF网络最终限制了动态场景下的性能。

为克服这些挑战，小波径向基函数（WRBF）神经网络被视为一种替代方案。墨西哥帽小波激活函数提供了增强的局部逼近精度、固有的噪声鲁棒性和更快的收敛速度。WRBF的有效性已在多项现有研究中得到报道，包括应用于简化滑模控制以减少抖振，以及用于机器人系统的GA优化精确跟踪。值得注意的是，在时变扰动下同步分数阶混沌系统的复杂任务中，WRBF网络已显示出处理复杂非线性动力学的卓越能力。这些已证实的优势促使我们将先进的WRBFNN集成到当前工作中，以处理倾转旋翼飞行的复杂不确定性。

尽管取得了这些显著进展，但一个根本性的局限性依然存在：大多数现有工作要么专注于改进滑模面本身，要么将智能补偿器视为一个独立的、附加模块与控制器进行“简单组合”。这种范式导致三个核心缺陷：集成松散、平台不匹配以及缺乏针对复杂平台的全面解决方案。因此，本文提出了一种针对倾转旋翼无人机的协同设计控制架构，而非简单的方法组合。主要贡献在于将FONTSMC与WRBFNN深度集成，创建了一种协同控制机制：WRBFNN提供的精确、实时干扰估计的小波基主动减轻了控制器的不确定性负担，从而使分数阶滑模的有限时间收敛和固有平滑特性能够以最高效率和最小抖振运行。因此，所提方案为将先进鲁棒控制应用于复杂过驱动平台提供了一种实用手段。

建模

为描述可倾转四旋翼系统的空间构型和动态行为，定义了三个坐标系。惯性坐标系固定于地面，用于表示无人机的全局位置和姿态。机体坐标系附着在飞行器的质心并随之移动。每个旋翼被分配一个局部旋翼坐标系，其中X_R,i沿机臂向外指，Z_R,i与旋翼推力方向对齐。四旋翼机臂呈十字形对称分布，旋翼逆时针编号，从左上旋翼R₁开始。

无人机相对于惯性坐标系的姿态使用ZYX欧拉角序列描述，记为η = [φ, θ, ψ]^T，其中φ、θ和ψ分别对应滚转、俯仰和偏航角。从机体坐标系到惯性坐标系的旋转矩阵定义为R_B^I。旋翼坐标系相对于机体坐标系的姿态记为R_R,i^B，其中包含绕z轴的旋转矩阵R_z(γ_i)。旋翼坐标系原点在机体坐标系中的位置向量为r_R,i^B= [l, 0, 0]^T，其中l为四旋翼机臂长度。

为描述可倾转四旋翼无人机的运动特性，使用牛顿-欧拉公式建立了六自由度刚体动力学模型。假设无人机进行无约束运动，其在惯性坐标系中的位置ξ = [x, y, z]^T和姿态η = [φ, θ, ψ]^T定义如下：?_B^I= R_B^I[ω]_×, [ω]_×是角速度的斜对称矩阵。满足R_B^I关系的矩阵J(η)满足特定形式。无人机在惯性坐标系中的平动动力学由mξ? = R_B^IF^B+ G^I+ D_f^I描述，其中m为质量；G^I= [0, 0, -mg]^T为重力项；F^B为机体坐标系中产生的总推力向量；D_f^I表示集总干扰力，包括建模误差和未知外部干扰。在机体坐标系中描述的转动动力学为I ω? = τ^B- ω × (I ω) + D_τ^B，其中I为四旋翼的惯性矩阵；τ^B为由旋翼产生的控制力矩；D_τ^B代表外部干扰和未建模效应。上述方程完整描述了倾转旋翼四旋翼无人机的平动和转动动力学。

可倾转四旋翼的气动模型建立了每个旋翼变量与施加于无人机机体的相应气动力和力矩之间的映射。设第i个旋翼的角速度和倾转角分别为n_i和γ_i。假设产生的推力和扭矩与旋翼转速的平方成正比，则局部旋翼坐标系中的推力向量f_i^R和反作用扭矩τ_i^R定义为f_i^R= [0, 0, k_tn_i²]^T, τ_i^R= [0, 0, (-1)ⁱ⁺¹c_dk_tn_i²]^T，其中k_t为旋翼推力系数；c_d为升阻比；γ_i为第i个旋翼绕其机臂轴x_R,i的主动倾转关节角。为获得在机体坐标系中作用于无人机质心的合气动力F^B和力矩τ^B，所有个体力和力矩通过相应的旋转矩阵R_R,i^B从其各自的旋翼坐标系变换而来。结合上述表达式，整体气动模型可以紧凑地表示为广义推力向量与组合力螺旋之间的线性映射，因此该模型可写为w = A u，其中A是仅取决于四旋翼几何形状的静态分配矩阵，u定义为由各个旋翼产生的所有分量的向量。

为简化后续控制器设计，将可倾转四旋翼无人机完整的平动和转动动力学重构成统一的二阶非线性系统。本文提出的WRBF-FONTSMC策略有效放宽了传统滑模控制（SMC）中集总干扰D上界d_i必须先验已知的标准且保守的假设。这是通过采用WRBF神经网络提供总干扰的实时估计D?来实现的，从而消除了控制器对d_i精确知识的显式依赖。通过设定期望状态x_d，跟踪误差及其导数被定义为e = x - x_d, ? = ? - ?_d。本工作的主要控制目标是设计一个鲁棒的6-DOF轨迹跟踪控制器，使受模型不确定性和外部干扰的飞行器稳定。要求方程给出的跟踪误差在有限时间内收敛到零。

控制器设计

本节为所提模型设计了一个带有WRBF干扰估计的分数阶非奇异终端滑模控制器，并严格分析了其稳定性。主要控制目标是实现精确的6-DOF参考轨迹跟踪，包括位置和姿态。控制器利用系统的推力矢量能力进行解耦，从而能够为每个自由度实现独立的控制律。这些控制律根据位置和姿态误差计算所需的力和力矩，形成控制力螺旋w。为计算执行器指令n_i和γ_i，采用了静态分配矩阵的Moore-Penrose伪逆。整体控制结构如图所示，其中突出了主要控制器组件之间的互连及其相应的数学公式。

分数阶微积分将整数阶微积分推广到微分或积分阶数为分数的情况。分数阶微积分中常用的基本算子记为_aD_t^α。本文采用Grunwald-Letnikov（GL）定义，该定义在控制理论中具有计算优势，特别是对于数字实现。GL定义本质上是离散的，可以有效地在线计算。性质包括线性性和复合运算规则。

为确保在存在外部干扰和模型不确定性的情况下实现准确快速的跟踪，为可倾转四旋翼系统的所有六个自由度开发了一种FONTSMC方案。根据文献，每个通道i ∈ {1,...,6}的滑模面定义为s_i= e_i+ κ_iD^α|e_i|^p/qsgn(e_i)，其中α是分数阶，κ_i是设计常数，p、q是正奇数，且1 < p/q < 2。引入指数趋近律并设计为? = -k s - ε sat(s)以防止奇异性问题，其中k和ε是控制收敛速度和系统阻尼的设计参数。指数趋近律的选择考虑了集成控制架构，干扰抑制的主要角色委托给WRBF神经网络，该网络实时精确估计并补偿集总不确定性。因此，趋近律主要负责控制收敛动力学，指数律因其简单性和有效性而非常适合此任务。结合连续S型函数和分数阶微积分的抖振抑制特性，形成了一种确保平滑和鲁棒性能的综合策略。将方程与分数阶指数趋近律方程结合，推导出控制律。最终，完整的控制输入向量由u = u_eq+ u_sw- D?组成，其中D?是由WRBF神经网络提供的估计干扰。

为实时估计未知集总干扰D，引入了自适应小波径向基函数神经网络（WRBFNN）作为核心干扰观测器。网络输出D?作为D的估计值，直接注入控制律中进行主动抵消。WRBFNN是一个三层前馈网络，由输入层、隐藏层和输出层组成。输入向量为X = [e, ?]^T∈ R¹²，代表位置和姿态跟踪误差及其导数。每个神经元使用墨西哥帽小波函数作为其激活函数：ψ_i(x) = (1 - ||x - c_i||²/b_i²) exp(-||x - c_i||