非惯性系涡旋识别新方法：基于参考点的客观Liutex理论构建与应用验证

《Fluids》：Objective Liutex from Flow Data Measured in a Non-Inertial Frame

本文提出了一种创新方法，能够直接从非惯性参考系（如旋转坐标系）中测量的流场数据中恢复观察者的角速度，从而构建客观的Liutex涡旋识别量。该方法基于一个关键观察：在惯性系中零涡量点占主导区域，其在非惯性系中表现为具有相同非零涡量的最大点群。通过识别计算域中最常出现的涡量向量，可唯一确定观察者的角速度，进而重构客观的速度梯度张量（?V）和客观Liutex。数值验证（如平板边界层转捩DNS数据）表明，该方法能高精度恢复观察者角速度，其重构的客观Liutex与原始惯性系结果视觉无差别，为涡旋结构的客观识别提供了简单准确的解决方案。

　　

涡旋是流体动力学研究中的基本要素，被Küchemann称为“流体运动的肌腱和肌肉”。人们对涡旋定义的理解经历了三代发展。第一代方法基于涡量(ω)识别涡旋，但涡量在存在剪切或拉伸的流体中会受到污染，例如在剪切强烈的边界层中，涡量与涡旋的相关性较弱。第二代方法依赖于速度梯度张量(?v)，包括Q准则、λ_ci准则、λ₂准则和Δ准则等。这些方法虽与实验观测更吻合，但仍存在共同缺点：它们是标量，无法指示涡旋轴的取向；其物理意义不明确，计算值不直接对应角速度；并且仍可能被剪切或拉伸污染。为解决这些问题，第三代方法Liutex被提出。Liutex是一个矢量，其方向表示局部旋转轴，其大小等于局部角速度的两倍，具有清晰的物理意义。

客观性是指观察结果在不同坐标系变换下保持不变的性质，这对于涡旋检测至关重要。例如，不同研究者可能选择不同的坐标系（如大气航空测量）。如果结果随坐标系选择而变化，则不同研究者获得的实验数据将无法进行一致比较。Liutex是伽利略不变的，因此在不同的惯性坐标系中保持不变，但在非惯性坐标系（如旋转系）中会发生变化。由于观察者的加速运动不影响瞬时速度梯度张量(?v)，因此仅需考虑观察者的旋转运动。这促使了“客观Liutex”的发展，使其独立于观察者的坐标系，从而实现坐标系无关的涡旋结构。

本文旨在不修改Liutex定义的情况下，通过从非惯性观察者测量的数据中找到惯性系中的Liutex。由于Liutex是伽利略不变量，它在所有惯性系中保持一致。因此，问题简化为如何从非惯性观察者测量的数据中找到任一惯性系中的Liutex。

该方法的核心是找到一个参考点(RP)。该RP在惯性坐标系中应具有零涡量，并且其角速度与观察者相同。定理1指出：如果点P在惯性系（与观察者系共享原点和基向量）中为零涡量点，则观察者的角速度分量满足V_ax= -1/2 ω_x, V_ay= -1/2 ω_y, V_az= -1/2 ω_z，其中(ω_x, ω_y, ω_z)为P点在观察者系中的涡量分量。该定理的证明基于速度梯度张量在惯性系(?V)和观察者系(?v)之间的关系：?V = ?v + Ω，其中Ω为与观察者角速度相关的反对称矩阵。当P点在惯性系中涡量为零时，其速度梯度张量的反对称部分B为零，由此可推导出上述关系。

基于观察，强涡旋存在于集中区域，而区域外的旋转通常较弱。在惯性系中，零涡量点往往占据大部分空间。如果一个旋转的观察者观察该区域，会发现这些点占据大部分空间并共享相同的涡量。因此，在惯性系中识别零涡量RP的问题，转变为在非惯性系中识别具有共同涡量的最大点群。因此，可以选择与最常见涡量相关的任何一点作为RP，并可从该点确定观察者的角速度。

获得客观Liutex的步骤可总结如下：

1. 1.
   寻找RP：计算观察者系中的涡量向量，找到出现频率最高的涡量向量(ω_x, ω_y, ω_z)。对于非均匀网格，每个点的贡献应按关联的单元体积加权。然后，观察者的角速度确定为(V_ax, V_ay, V_az) = -1/2 (ω_x, ω_y, ω_z)。
2. 2.
   计算惯性系中的?V：通过关系式?V = ?v + Ω计算惯性系中的速度梯度张量，其中Ω是由角速度分量构成的反对称矩阵。
3. 3.
   计算客观Liutex：从客观的速度梯度张量?V计算客观Liutex。

该方法通过平板边界层转捩的直接数值模拟(DNS)数据进行验证。计算域尺寸为L_x= 988.658δ_in（流向），L_y= 22δ_in（展向），L_{z_in}= 40δ_in（入口处壁面法向）。网格点数为1920×128×241。流体为牛顿流体，粘度由萨瑟兰定律确定。在流动中施加一个人工角速度V_a= (0.1, 0.2, 0.3)来模拟旋转观察者。

结果显示，从旋转观察者视角看到的Liutex等值面(R=0.07)与原始惯性系结果相比存在显著差异，对称性消失，Λ涡和发夹涡结构无法识别，表明常规Liutex的非客观性。在选定的子区域（如[707,712]×[0,22]×[0,24]和[506,512]×[0,22]×[0,24]）中，最常见的涡量向量分别占总点的39.66%和63.37%，显著高于第二常见的涡量（分别仅占1.10%和0.83%）。根据这些最常见涡量计算出的观察者角速度与真实施加值非常接近，误差在可接受范围内。

在确定观察者角速度后，通过上述步骤重构惯性系中的速度梯度张量和客观Liutex。结果显示，应用所提客观方法后得到的Liutex等值面(R=0.07)与原始惯性系中的涡旋结构在视觉上没有区别，早期转捩阶段的对称性以及Λ涡和发夹涡结构都得到了恢复，证明了该方法的有效性。

该方法为任意观察者实现客观涡旋识别提供了一种简单、高效且实用的途径。其核心思想是识别惯性坐标系中涡量为零、并在非惯性坐标系中对应最常出现涡量值的参考点(RP)。该方法可应用于其他涡旋识别方法，并有望用于观察者运动未知或难以控制的实验测量、数值模拟和数据驱动的流动分析中。该方法适用于外部流动（如平板或翼型绕流）。对于更一般的应用（如泵和涡轮中振荡翼型或旋转叶片上的流动），需要进行不同流构型的进一步验证研究。