加速失效时间模型协方差估计与拟合优度图分析新方法

《Axioms》：Estimating Covariances and Goodness of Fit Plots for Accelerated Failure Time Models

本文提出了一种估计加速失效时间模型（AFT）中预测变量与对数生存时间协方差Cov(x,Z)的简洁方法，并介绍了用于评估AFT模型拟合优度的图形诊断工具，特别是易于使用的估计方程图（EE plot）。相较于比例风险模型（Cox PH）的检验方法，本文提供的图示法更为直观有效，为生存回归模型的验证提供了实用工具。

　　

在生存分析研究中，当响应变量Y为事件发生时间（如死亡时间）且存在右删失情况时，加速失效时间模型（Accelerated Failure Time Model, AFT）是重要的回归模型之一。其基本形式为Z = log(Y) = α_Z+ x^T_iβ_Z+ e。本文的核心贡献在于提出了一种简单有效的估计方法，用于求解此类模型中预测变量x与对数生存时间Z的协方差矩阵Σ_xZ= Cov(x, Z)，并系统介绍了一系列用于检查AFT模型拟合优度的图形方法。

1. 引言：生存回归模型概述

生存分析旨在研究事件发生时间与一系列预测变量之间的关系。当生存时间存在右删失时，传统的线性回归方法不再适用。AFT模型通过对数变换将生存时间转换为线性模型，其参数通常采用最大似然法估计。另一种重要的模型是Cox比例风险模型（Proportional Hazards Model, PH），其基线风险函数未指定，属于半参数模型。尽管针对Cox模型的拟合优度检验方法已有大量文献，但这些方法往往复杂且难以应用。本文聚焦于AFT模型，旨在提供更简便的协方差估计和模型诊断工具。

2. 材料与方法

2.1. 估计删失生存回归模型的Σ_xZ

本节推导了在响应变量Z存在右删失时，估计Σ_xZ的方法。关键在于利用多元线性回归模型的性质，即总体参数向量满足β_Z= β_OLS= Σ_x^-1Σ_xZ。因此，Σ_xZ= Cov(x)β_Z= Σ_xβ_Z。当生存时间存在删失时，虽然普通最小二乘（OLS）估计量不再一致，但AFT模型或Buckley-James估计量可以提供β_Z的一致估计量β?_Z。由此，提出了一个简单的插件估计量：Σ?_xZ= Σ?_xβ?_Z。该方法概念清晰，且易于实现。

2.2. EE图（估计方程图）

在应用上述协方差估计方法前，需要验证参数AFT模型的适用性。EE图是一种强大的图形工具，用于比较不同估计方法得到的估计充分预测变量（Estimated Sufficient Predictor, ESP）。具体而言，绘制Buckley-James估计量得到的ESP_BJ与AFT模型估计量得到的ESP_A的散点图。如果模型设定正确，且估计量一致，则散点应紧密分布在斜率为1、截距为0的直线（即单位线）附近。若点偏离此线，则提示模型可能存在拟合问题。相较于其他复杂的诊断图，EE图更加直观易懂。

3. 其他图形诊断方法

除了EE图，文章还介绍了多种用于生存回归模型诊断的图形方法：

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  对数删失响应图（Log Censored Response Plot, LCR Plot）：绘制预测值α? + β?_A^Tx_i与观测到的对数生存时间log(T_i)的散点图，并用不同符号区分删失与未删失案例。该图有助于识别异常生存时间和检查线性趋势。
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  响应变换图：通过Buckley-James估计量探索不同的响应变量变换（如Box-Cox变换），以寻找最能使模型线性化的变换形式。
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  切片生存图（Slice Survival Plot）：将ESP的取值范围划分为J个区间（切片）。在每个切片内，分别绘制基于模型参数的估计生存曲线?_j(t)和基于该切片内数据的非参数Kaplan-Meier估计生存曲线?_KMj(t)。如果模型拟合良好，两条曲线应基本重合。该图能直观展示模型预测生存曲线与经验生存曲线之间的差异，是评估模型整体拟合效果的有效手段。

3.1. 实例与模拟研究

通过卵巢癌数据和NWTCO数据实例，展示了EE图、切片生存图等方法的实际应用效果。例如，在卵巢癌数据中，EE图清晰表明Weibull AFT模型比指数AFT模型更合适。模拟研究则验证了所提出的协方差估计量Σ?_xZ(A)（基于AFT模型）和Σ?_xZ(BJ)（基于Buckley-James估计量）具有良好的有限样本性质，其均值接近真实值，标准差较小。

3.2. Σ?_xZ模拟结果

模拟结果表明，在多种设定下（不同样本量n、预测变量维度p、相关性结构），基于正确设定的AFT模型的协方差估计量和基于Buckley-James估计量的估计量均表现良好，能够较准确地估计真实的协方差向量Σ_xZ。

4. 讨论与展望

本文提出的协方差估计方法简单有效，填补了该领域的空白。EE图等图形工具为AFT模型的验证提供了便捷的途径。文章最后指出了几个未来可能的研究方向：将其推广到存在异方差性的模型、应用于其他类型的删失回归模型（如Tobit模型）、发展更完善的大样本理论以构建置信区间、增强方法对异常值的稳健性，以及探讨当不同诊断方法（如Grambsch-Therneau检验与切片生存图）结论矛盾时的处理策略。文中所用R代码已公开，便于读者复现和应用文中的方法。