纠缠熵在 SU (N) 解禁闭量子临界点的演化：解锁量子相变新奥秘

本文通过研究 SU (N) 自旋模型中纠缠熵（EE）的标度行为，发现 N 较小时，解禁闭量子临界点（DQCP）不能用共形场论（CFT）描述；N≥8 时，EE 标度与 CFT 相符，存在临界值 Nc在 7 - 8 之间，为理解 DQCP 本质提供关键线索。

　　### 引言
在过去二十年，解禁闭量子临界点（DQCP）备受凝聚态物理、量子场论和高能物理等领域关注。它突破了 Landau - Ginzburg - Wilson 对称破缺和相变理论框架，引发诸多理论设想，如与‘t Hooft 反常、高维对称保护拓扑态的联系，以及涌现对称性和分数化自由度等概念。众多科研人员对其展开数值模拟和实验研究，但 DQCP 的本质一直存在争议。

以方形晶格 SU (2) J - Q 模型为例，最初认为它能实现 Néel 态和价键固体（VBS）态之间的连续量子相变，但多年来研究结果相互矛盾，包括一阶与连续相变之争、临界指数与共形引导边界条件不兼容，以及可能存在的多临界行为等，至今未达成共识。类似复杂情况也出现在许多新的 DQCP 模型中，如实现从狄拉克半金属（DSM）经量子自旋霍尔绝缘体到超导体，或从 DSM 经 VBS 到反铁磁体转变的费米子模型，这些模型的临界指数也存在问题，且缺乏共形场论（CFT）描述。

对于 CFT，在 2 + 1 维中，第二 Rényi 纠缠熵（EE）按特定形式标度，其对数修正项系数 s 在边界光滑时应为 0，有尖角时一般为正且取决于尖角开口角度。研究发现 DQCP 的 Rényi 纠缠熵有限尺寸标度形式中，存在反常对数次主导贡献，这成为研究 DQCP 性质的关键切入点。本文旨在通过分析一系列类似 DQCP 的 SU (N) 模型中 EE 的标度行为，确定这些模型的相变性质，探索是否存在临界 N 值（N_c），使 DQCP 表现为连续相变。

研究选用方形晶格 SU (N) DQCP 自旋模型，从 N = 2、3（J - Q 模型）到 N = 5、7、8、10、12、15、18、20（J₁ - J₂模型），运用非平衡增量量子蒙特卡罗（QMC）算法测量 EE。该算法能有效缓解传统方法在大系统尺寸下提取次主导通用标度系数时数据质量不佳的问题，通过将 Rényi EE 转换为不同流形上配分函数的自由能差，借助 Jarzynski 等式和增量技巧，得到更可靠的 EE 结果。

结果

1. 模型与相图
   研究的 SU (N) 自旋模型定义在方形晶格上，每个格点有 N 个局部状态。模型哈密顿量包含最近邻反铁磁相互作用项（J₁项）、次近邻铁磁相互作用项（J₂项）和四自旋环交换项（Q 项，N = 2、3、4 时添加）。J₁项是 SU (N) 近邻反铁磁相互作用的推广，J₂项是次近邻铁磁相互作用的推广，Q 项能稳定 VBS 态。该模型的相图由 q = Q / (J₁ + Q)、g = J₂ / J₁和 N 三个参数确定，与先前 QMC 研究结果一致。在 N = 2、3、4 时，通过调节 q 可诱导 Néel 态和 VBS 态之间的转变；N≥5 时，调节 g 可实现 VBS 态和 Néel 态之间的转变。
2. EE 的有限尺寸标度
   根据 CFT，二维晶格模型量子临界点的 EE 标度遵循特定公式，系数 s 与边界角有关。在 CFT 中，光滑边界（α = π）时 s (π) = 0，单位 ary CFT 中，对于 α∈(0, π]，有 s (α)≥s (π) = 0。不同 CFT 的角贡献已通过数值或解析方法计算得出，如 (2 + 1) D 狄拉克费米子 CFT 中 s (π / 2) = 0.01496，单个实自由玻色子中 s (π / 2) = 0.0064，方形区域在 (2 + 1) D O (3) 转变时 4s (π / 2) = 0.081 (4) 。此外，具有 Goldstone 模式的自发对称破缺（SSB）相的 EE 标度也有类似形式，且对数修正项系数有额外贡献。
3. 光滑边界的 EE
   利用 QMC 算法得到模型在光滑二分（或等效于有 α = π 尖角）情况下的 EE。对于不同 N 值，在相应的假定 DQCP 处，绘制 EE 随边界长度 l_A的变化曲线，并根据 CFT 的 EE 标度公式进行拟合。结果发现，所有 N 值的 EE 主要由周长定律标度主导，但减去周长定律贡献后，SU (2)、SU (3)、SU (5) 和 SU (7) 的对数系数 s 不为 0，违反了 CFT 中 s (π) = 0 的条件，表明这些小 N 值的假定 DQCP 与 CFT 不兼容。而从 SU (8) 开始，随着系统尺寸增大，s 值趋近于 0，SU (N)（N≥8）的 Néel - to - VBS 转变符合 CFT 描述，是真正的 DQCP 候选，暗示存在临界值 N_c在 7 - 8 之间。
4. 尖角边界的 EE
   对于有尖角的子区域，分析其 EE 的次主导贡献。以 SU (3) DQCP 为例，有四个 α = π / 2 尖角的子区域的 EE 对数系数为负，且与光滑边界的对数系数相近，说明小 N 值时观察到的尖角处对数修正源于光滑边界情况。在 N≥N_c时，光滑边界的 s (π) 按 CFT 预测消失，此时 EE 的对数修正是由四个尖锐的 π / 2 尖角引起。通过测量减去尖角 EE（S^sc），发现 N≥N_c时，其对数系数 s 为正，与 CFT 约束一致，且与 N - 分量 Abelian - Higgs 和非紧致 CP^{N - 1}场理论的理论预期相符，进一步证明 SU (N)（N≥N_c）晶格模型的转变实现了真正的 DQCP，可由 N - 分量 Abelian - Higgs 场理论描述。

讨论

通过对一系列 SU (N) 自旋模型中 EE 标度的数值研究，发现较小 N 值（包括 N = 2、3、5、7）时，Néel 和 VBS 相之间的转变不能用 CFT 描述；较大 N 值（N = 8、10、...、18、20）时，EE 标度与 CFT 描述相符，表明存在临界值 N_c，N≥N_c时 SU (N) DQCP 为真正的连续转变。

有研究对 SU (2) J - Q 模型采用不同光滑切割方式研究二阶 Rényi 熵，虽发现对数修正消失，但后续研究表明，即使采用倾斜光滑切割，SU (2) J - Q 模型的三阶和四阶 Rényi 熵仍存在次主导对数贡献，只是系数比直切时小，说明光滑边界 EE 的对数次主导贡献普遍存在，但其对数项系数的方向依赖性有待进一步研究。

N - 分量 Abelian - Higgs 模型是 SU (N) DQCP 的候选场理论。四圈重整化群计算表明，该理论在 N≥N_c = 12 (4) 时有稳定实固定点，与 EE 测量估计的 N_c接近。N<>_c时，固定点消失，转变为弱一阶，由 “行走行为” 主导，这可能是观察到光滑边界 EE 反常对数次主导项的原因之一。

此外，SSB 中的 Goldstone 模式也可能导致观察到的 s (π)<0。在有 n_G个 Goldstone 模式的 SSB 态中，光滑边界子区域的 EE 有次主导对数修正。对于 SU (2) DQCP 在 J - Q₃模型中，研究发现异常 EE 标度可能由涌现 SO (5) 对称性的弱 SSB 和四个 Goldstone 模式引起。同时，对于小 N 值，S^sc与 L 呈线性关系，表明光滑和尖角切割的周长定律系数不同，可能源于不同切割中剩余 VBS 矩的临界涨落不均，也指向 N<>_c时的弱一阶转变情景。

还有一种可能是对数修正源于纠缠切割上的近边际重整化群流。Rényi 熵可视为 Rényi 缺陷算符的期望值，CFT 结果 s (π) = 0 在体和缺陷的深红外极限下成立，但有限尺寸计算且缺陷上重整化群流由近边际算符主导时，可能出现对数行为。然而，难以解释为何在 N = 2、3、5、7 时均出现反常对数修正，因此认为反常修正不太可能源于缺陷重整化群流，而应归因于体性质。

材料和方法

运用 QMC 算法计算模型的二阶 Rényi EE，晶格线性尺寸 L = 8、12、16、…、40 。通过调整逆温度 β 来避免热污染，如 N = 2 时 β = L，N = 18、20 时 β = 8L，中间 N 值时 β = 4L。为测量相图中转变的 EE，开发了非平衡增量 QMC 算法，该算法将 Rényi EE 转换为不同流形上配分函数的自由能差，有效提高了数据质量，已获得多个体系的受控 EE 结果。同时，也有将 EE 视为指数可观测量和更简单增量方法等最新进展。