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为解决传染病防控难题，研究人员开展 SEI?I?I?QCR 模型相关研究。结果显示该模型能精准模拟新冠传播，优化防控策略。推荐阅读，助您了解前沿研究，把握传染病防控数学建模新方向，提升科研视野。
新冠疫情防控新助力：SEI?I?I?QCR 模型解读
在过去的二十年间，新出现的疾病超过三十种，它们就像隐藏在暗处的 “健康杀手”，时刻威胁着全球数百万人的生命健康。世界卫生组织曾发出警告，全球正面临着一场迫在眉睫的传染病危机，没有哪个国家能置身事外。就拿新冠疫情来说，它的爆发给全球带来了巨大的冲击，让人们深刻认识到传染病防控的紧迫性和重要性。
传统的传染病防控手段，主要依赖非药物干预措施，比如隔离、社交距离限制等。然而，这些方法存在着不少问题。如果不能及时发现病毒携带者，相关数据的准确性就会大打折扣，防控策略的效果也会受到影响。就算开展了各种宣传活动，鼓励无症状感染者及时就医，但还是有很多人选择在家自行隔离，这也给疫情防控增加了难度。
为了更好地应对传染病的挑战，许多领域的专家都行动起来了。医学研究者们忙着研发疫苗和抗生素，而数学家和流行病学家则借助数学模型来深入了解传染病的传播规律。传统的基于常微分方程的 SIR（易感者 - 感染者 - 康复者）模型，虽然为研究传染病动力学提供了一些基础思路，但它把复杂的传播模式简单化了，假设人们在不同状态之间的转换是瞬间完成的，而且忽略了人群行为的多样性。现实中，传染病的传播可没这么简单，比如新冠病毒，从感染到出现症状有一定的潜伏期，这个潜伏期对疫情的传播有着重要影响，但传统模型却无法准确描述这一过程。
在这样的背景下，为了更精准地掌握传染病的传播规律，找到更有效的防控策略，研究人员不断探索新的方法。作者[第一作者单位] 的研究人员在《BMC Medical Research Methodology》期刊上发表了题为《An advanced fractional order delay differential equation model for COVID-19 dynamics and its optimal control》的论文。他们通过研究，建立了一个先进的 SEI?I?I?QCR 模型，这个模型就像是一个强大的 “显微镜”，能更清晰地观察传染病的传播过程。研究发现，症状意识和及时的干预措施，比如隔离和宣传活动，对降低新冠病毒的传播率、控制疫情起着关键作用。而且，通过优化控制策略，可以在减少感染人数的同时，降低疫情带来的经济成本。这一研究成果为公共卫生决策提供了重要的参考依据，有助于提高应对传染病爆发的能力。
研究人员为了开展这项研究，使用了好几种关键技术方法。首先是构建数学模型，他们将分数阶微积分和延迟微分方程相结合，建立了 SEI?I?I?QCR 模型，这个模型把感染人群细分为无症状（I?）、轻症（I?）和重症（I?）三类，还考虑了潜伏期和记忆效应等因素，让模型更贴合实际情况。其次，运用稳定性分析，研究人员计算了基本再生数（R?），分析了疾病 - free equilibrium（DFE，即疾病在人群中不再存在的状态）和 endemic equilibrium（EE，即疾病在社区中持续存在的状态）的稳定性，研究延迟和分数阶参数对疾病传播动态的影响。最后，采用最优控制理论，定义了一个包含隔离、宣传活动和医疗费用等成本的函数，运用庞特里亚金最大值原理，找到最优的干预策略，以最小化疫情传播和成本。
下面咱们来详细看看研究结果。
理论分析模型
研究人员以分数阶微积分和延迟微分方程为基础，构建了 SEI?I?I?QCR 模型。这个模型把总人口 N (t) 分为八个类别，分别是易感人群 S (t)、暴露人群 E (t)、无症状感染且处于潜伏期的 I?(t)、轻症感染者 I?(t)、重症感染者 I?(t)、被隔离者 Q (t)、在重症监护室的患者 C (t) 以及康复者 R (t)。通过一系列假设，推导出了分数阶流行病学模型的方程。同时，还证明了该模型解的有界性、存在性和唯一性，就像是给这个模型的可靠性上了 “三把锁”。这表明在一定条件下，模型的解是稳定且可预测的，为后续研究奠定了坚实的理论基础。
平衡状态和稳定性分析
在分析 SEI?I?I?QCR 模型的平衡状态和稳定性时，研究人员找到了两个关键的平衡点：疾病 - free equilibrium 和 endemic equilibrium。基本再生数（R?）在其中起着至关重要的作用，它就像一个 “开关”。当 R? < 1 时，疾病 - free equilibrium 是局部渐近稳定的，这意味着在理想情况下，疾病会逐渐消失；而当 R? > 1 时，疾病会在人群中持续存在，形成地方病状态。研究人员还发现，延迟和分数阶参数会带来复杂的动力学变化，可能导致 Hopf 分岔，也就是疾病传播会从稳定状态转变为周期性波动的状态，这也解释了为什么在现实中疫情会出现周期性的高峰。通过对不同延迟情况的研究，得出了疾病 - free equilibrium 在不同条件下的稳定性结论，为判断疫情的发展趋势提供了重要依据。
地方病平衡结构和 Hopf 分岔的评估
对地方病平衡结构的评估和 Hopf 分岔的分析，能帮助我们了解 SEI?I?I?QCR 模型的长期动态变化。研究发现，根据传播率、恢复率和非药物干预措施的有效性不同，可能会出现多个地方病平衡点。这就好比不同的防控措施和病毒传播特性会让疫情走向不同的 “岔路口”。Hopf 分岔分析表明，当某些关键参数发生变化时，疾病传播可能会出现振荡动力学，这与现实中疫情受季节或周期性干预策略影响而呈现出的周期性爆发相呼应。通过确定导致 Hopf 分岔的参数阈值，研究人员可以为调整干预措施提供关键信息，帮助决策者在合适的时机采取行动，防止感染率反弹。
最优控制问题的制定
在 SEI?I?I?QCR 模型中，制定最优控制问题是一个重要突破。研究人员定义了一个成本函数，这个函数综合考虑了隔离措施、宣传活动的费用，以及治疗感染患者的医疗支出。通过庞特里亚金最大值原理，推导出了伴随方程，从而确定了最优的控制策略，比如确定无症状感染者（I?）和轻症患者（I?）的隔离率，以及针对易感人群的宣传活动强度等。模拟结果显示，合理的最优控制策略不仅能降低直接医疗成本，还能通过防止大规模疫情爆发，减轻疫情对经济的整体影响。而且，早期积极开展宣传活动，可以显著提高隔离措施的效果，这也为公共卫生规划提供了重要的参考，告诉我们在疫情防控中要合理分配资源，采取科学的干预策略。
数值计算和讨论
研究人员通过数值模拟，进一步验证了 SEI?I?I?QCR 模型的有效性。延迟参数的加入，让模型能更真实地反映新冠病毒从感染到出现症状的潜伏期，模拟结果与实际的新冠疫情数据更加吻合。通过敏感性分析发现，延迟和分数阶参数 α 对模型的稳定性有着重要影响，延迟模拟了感染的自然进程，而 α 反映了影响系统响应的记忆效应。运用最优控制理论评估非药物干预措施时发现，在疫情早期实施控制措施，尤其是针对无症状人群的措施，能有效降低感染率。不同参数设置下的模拟结果表明，控制参数 u 和传播率 β?、β?、β?等对基本再生数和疾病传播有着重要影响，为疫情防控提供了具体的参数参考。
研究人员还对模型进行了数据拟合和比较。他们以上海 2022 年 3 - 4 月的新冠疫情数据为例，通过设置部分参数并使用非线性最小二乘法估计其他参数，发现模型的拟合参数与报道值吻合得很好，模拟结果与实际确诊病例的误差较小，这证明了模型的可靠性和准确性。敏感性分析还发现，接触率 β?、β?、β?和控制参数 u 对基本再生数 R?和成本函数 J 的影响较大，这为进一步优化防控策略提供了关键信息。
在研究结论和讨论部分，SEI?I?I?QCR 模型为理解新冠病毒传播动力学和评估非药物干预措施的有效性提供了一个全面的框架。与传统模型相比，它通过纳入分数阶延迟微分方程，区分不同感染阶段，更准确地捕捉了疾病进展的复杂性。研究结果强调了症状意识和及时干预在降低传播率和控制疾病方面的关键作用，敏感性分析也明确了影响基本再生数的重要参数，为制定有效的公共卫生策略提供了指导。
此外，最优控制问题的制定表明，合理实施控制措施可以显著降低疫情带来的健康和经济成本。这一模型不仅为当前的公共卫生应对提供了参考，还为未来应对各种传染病奠定了基础。它让我们认识到，在公共卫生干预中，需要采取灵活、数据驱动的方法。
总的来说，这项研究成果意义重大。它为研究传染病传播和防控提供了新的视角和方法，帮助公共卫生部门更科学地制定防控策略，合理分配资源，提高应对传染病爆发的能力。而且，该模型还有助于我们更好地理解传染病的传播规律，为未来预防和控制传染病的研究提供了宝贵的经验。不过，研究人员也表示，未来还可以进一步拓展这个模型，纳入更多实时数据来源，或者应用到其他有潜伏期的传染病研究中，让这个模型在保护人类健康的道路上发挥更大的作用。
