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为解决 3D DC 地电电阻率建模计算负荷大、奇点等问题，印度尼西亚万隆理工学院的研究人员开展相关研究。他们利用奇点去除技术等，得出有效结果。该研究提升建模效率与准确性，推荐科研读者阅读借鉴。
在地球科学的研究领域中，近地表探测是一个极为重要的环节。而直流电（DC）地电电阻率法，就像是地球科学家们手中的一把神奇 “透视镜”，频繁地被用于近地表调查。它的原理说起来也不难理解，就好比给地球 “通电”，通过两个电流电极向地球介质中注入直流电，然后用两个电位电极测量产生的电压响应，根据这些数据来推断地球内部的结构和性质。
但是，这把 “透视镜” 在使用过程中却遇到了不少麻烦。大家都知道，现在的研究越来越追求高效和便捷，特别希望能在便携式电脑上进行快速又准确的三维直流电地电电阻率建模。可目前的情况是，一方面，由于电流源项中使用的狄拉克 δ 函数，导致计算直流电电阻率响应时出现了一个让人头疼的问题 —— 奇点问题。简单来说，这个奇点就像是建模过程中的一颗 “小炸弹”，会让计算结果在奇点附近变得不准确。为了解决这个问题，一些人尝试在电流源周围进行网格细化，可这就像是给本来就繁重的计算任务又加上了一座大山，大大增加了计算负荷，在便携式电脑上计算起来非常困难。
另一方面，三维直流电地电电阻率建模使用有限元方法时，还得面对求解大规模稀疏线性方程带来的计算负荷挑战。之前的研究人员在求解这些方程时，有的选择迭代求解器，有的还在用直接求解器。虽然现在的轻便型电脑让直接求解器速度有所提升，但因为电流源位置变化和反演过程中的迭代需要不断重复进行正向建模，所以迭代求解器即便加上额外的预处理器，也更受青睐。可问题是，怎么选择合适的迭代求解器和预处理器呢？这一系列的问题，就像一团团迷雾，笼罩在三维直流电地电电阻率建模的研究道路上。
为了驱散这些迷雾，印度尼西亚万隆理工学院（Institut Teknologi Bandung）的研究人员 Supriyadi、I.G.P.F. Soerya Djaja、Elfitra Desifatma、Harry Mahardika 和 Wahyu Srigutomo 等人进行了深入研究，并在《Heliyon》期刊上发表了题为 “3D DC geoelectric resistivity modeling with the singularity removal technique using finite element method based on orthosceme element” 的论文。
研究人员为开展这项研究，用到了几个关键的技术方法。首先是奇点去除技术，他们把电位巧妙地拆分成由电流源产生的初级电位和由地球介质非均匀电导率产生的次级电位两部分，分别进行求解。其次，在有限元实现过程中，使用了一种特殊的结构化四面体单元 —— 正交四面体（orthosceme），它是通过把六面体（立方体）分割成六个四面体得到的，这种单元的使用方便了理解单元设置规则，还能用于后续的反演方案。最后，在求解方程时，采用了预处理共轭梯度法（PCG），并以不完全乔里斯基分解（ICF）作为预处理器，大大提高了计算效率。
下面我们来看看他们的研究结果。
6.1 分层地球模型作为建模基准
研究人员用分层地球模型来测试建模的准确性。对于均匀地球模型，使用奇点去除技术后，方程右边为零，没有次级电位解，总电位解由解析计算的初级电位贡献。但分层地球模型在获取解析电位时存在挑战，所以研究人员用 Wenner 和 Schlumberger 阵列的视电阻率来进行建模准确性测试。
他们构建了两层和三层的分层地球模型，在特定的建模区域内划分网格，为了保证狄利克雷边界条件的适用性还添加了填充节点。通过计算发现，PCG 求解器搭配 ICF 预处理器比直接求解器快 6.7 倍，而且在不同地球模型和电极阵列中，全局矩阵都具有大规模、稀疏、实对称和正定的特性，PCG 方法是求解方程的最佳选择。
从电位分布来看，Wenner 和 Schlumberger 阵列的电位分布模式相似，都以电流电极为中心呈现最大正负电位，并且电位值会随着与电流电极距离的增加而减小。在视电阻率准确性方面，Wenner 阵列在电极间距为 10 - 60m 时，使用奇点去除技术后的数值解与解析结果的相对误差小于 5%；Schlumberger 阵列表现更出色，在大部分情况下相对误差都小于 5% 。
6.2 垂直接触地球模型和埋藏块体三维异常地球模型
在验证了建模方法的准确性后，研究人员把它应用到垂直接触地球模型和埋藏块体三维异常地球模型中。
垂直接触地球模型可以用来模拟断层结构，研究人员用 Wenner、Schlumberger 和偶极 - 偶极（dipole - dipole）阵列在这个模型上进行横向剖面测量。从电流流动和电位分布模式来看，Wenner 和 Schlumberger 阵列产生的模式相似，而 dipole - dipole 阵列由于电流电极位置不同，模式差异较大。在导电介质中，电位分布下降得比电阻介质中更快。从视电阻率剖面来看，三种电极阵列的视电阻率都能反映出介质边界处的电阻率变化，其中 dipole - dipole 阵列的变化更为显著，这表明它更适合用于探测横向结构。
对于埋藏块体三维异常地球模型，研究人员在模型中设置了一个电阻率较低的埋藏块体，用三种电极阵列进行剖面测量。结果发现，三种电极阵列的视电阻率剖面都能有效地反映出埋藏块体异常的存在，在接近异常体时，视电阻率都会下降。
通过这一系列研究，研究人员得出结论：使用奇点去除技术的三维直流电地电电阻率建模，通过基于正交四面体的有限元方法数值求解次级电位方程，同时解析求解初级电位，利用 PCG 求解器搭配 ICF 预处理器，计算速度比直接求解器提高了 6.7 倍，还能保持准确性。这种建模方法可以通过三维可视化展示电位随距离和介质电导率的变化趋势，而且奇点去除技术有效解决了电流电极周围电位值的奇异性问题。
在实际应用中，这种建模方法在不同的地球模型上都表现出色。在分层地球模型中，Wenner 和 Schlumberger 阵列的视电阻率相对误差较小；在垂直接触地球模型中，Wenner 和 Schlumberger 阵列视电阻率变化趋势相似，dipole - dipole 阵列更适合检测横向结构；在埋藏块体三维异常地球模型中，三种电极阵列都能有效反映出异常的存在。
这项研究的意义重大，它为地球科学领域的近地表探测提供了一种更高效、准确的建模方法。就像是给地球科学家们的 “透视镜” 升级了一样，让他们能更清晰、更快速地了解地球内部的结构和性质，无论是在地质勘探、资源开发，还是在工程建设等方面，都有着广阔的应用前景，为相关领域的研究和实践提供了重要的技术支持和理论依据。
