基于分段网格立方非多项式样条的Robin型奇异摄动反应扩散方程高精度数值解法研究

本文针对Robin型边界条件下的奇异摄动反应扩散方程，提出了一种基于分段网格的立方非多项式样条逼近方法。研究人员通过构建非均匀网格和四阶差分格式，建立了稳定的三对角线性系统，在ε∈(10-16,10-3)范围内实现了最高4.01阶收敛精度，相比传统方法误差降低达89.7%。该成果为流体力学、半导体器件建模等领域的边界层问题提供了新的数值分析工具。

　　

在流体动力学和量子力学等领域，当微分方程最高阶导数项前存在微小参数ε时，会产生被称为"奇异摄动"的数学难题。这类问题的解在边界区域会呈现剧烈变化，形成仅占域宽2√ε lnN的边界层（boundary layer）。传统均匀网格方法在此类问题中往往失效，特别是当ε→10^-12量级时，常规数值解会产生超过99%的相对误差。

Jimma University数学系Bethelhem Esayas Ayele团队在《BMC Research Notes》发表的研究中，创新性地将计算域划分为边界层区和非边界层区，分别采用4τ/N和2(1-2τ)/N的非均匀网格步长。通过构造含自由参数ω的立方非多项式样条函数S(x)=c_i+d_i(x-x_i)+u_i(e^ω(x-x_i)-e^-ω(x-x_i))，推导出具有α=1/12、β=5/12系数的四阶差分格式，最终形成可通过Thomas算法高效求解的三对角系统。

关键技术包括：1）采用过渡参数τ=min(1/4,2√ε lnN)的自适应网格划分；2）基于双曲函数的立方样条构造；3）Robin边界条件的四阶泰勒展开处理；4）通过Gerschgorin圆盘定理证明矩阵对角占优性。

方法构建

研究团队首先将定义域[0,1]划分为三个子区间：[0,τ]、[τ,1-τ]和[1-τ,1]，在边界层区域采用密集网格。通过引入参数ω=θ₁+θ₂/(h_i+h_i+1)，构建的样条函数可转化为形如E_iy_i-1+F_iy_i+G_iy_i+1=H_i的三项递推关系，其中系数矩阵满足严格对角占优条件|B_i|≥|A_i|+|C_i|。

数值验证

在典型算例y''-(1+x(1-x))y=f(x)中，当ε=10^-8时：

• 均匀网格最大误差达9.50×10^-1（N=64）

• 分段网格将误差降至3.11×10^-4，提升3065倍

• 收敛阶数稳定在3.98±0.03（N=2048）

边界条件处理

对于Robin条件a₀y(0)-a₁√ε y'(0)=η₁，通过四阶泰勒展开获得离散格式：

y'₀≈(y₁-y₀)/h₁-h₁b₀y₀/(2ε)+h₁³b₀''y₀/(24ε)

该处理使边界截断误差TB_L=-h₁⁴y₀⁽⁵⁾/120+O(h₁⁵)

研究结论表明，该方法在ε=10^-16极端条件下仍保持2.397×10^-7的精度，相比文献[16]的有限差分法提升两个数量级。通过理论证明和数值实验的双重验证，该方案为处理半导体器件模拟中的载流子浓度分布、等离子体动力学等强边界层问题提供了新的数值工具。特别是方案中ω参数的可调节性，为不同类型边界层的精确捕捉提供了灵活度，这是传统多项式样条方法所不具备的优势。