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研究人员在度量似空间中研究Fc - 收缩和固定圆定理，得出新结论，拓展了经典不动点理论。
# 度量似空间中
Fc - 收缩与固定圆定理研究新进展
在数学的奇妙世界里，不动点理论就像一颗璀璨的明星，多年来吸引着无数研究者的目光。它在分析、拓扑、经济学、博弈论等众多领域都有着广泛的应用。简单来说，不动点理论就是寻找函数将至少一个点映射回自身的条件，这个点就是不动点。随着时间的推移，该理论不断发展，从经典的度量空间拓展到了更广义的结构，比如 Banach 空间和度量似空间（metric - like spaces）。
度量空间的概念是法国数学家 Maurice Fréchet 在 1906 年提出的，如今它在数学和其他科学领域都至关重要。之后，为了满足不同的研究需求，人们对度量空间进行了多种推广。2000 年，Hitzler 建立了度量似空间的概念，它与经典度量空间的一个重要区别是，在度量似空间中，一个点到自身的距离可以不为零。这一特性为不动点理论的研究开辟了新的方向。
在度量似空间的研究中，固定点定理（Fixed point theorems）确保在某些条件下，自映射存在唯一的固定点。然而，在一些情况下，唯一性无法保证，函数可能会将点映射到一个圆形的点集上，这就是所谓的 “固定圆问题（fixed - circle problem）” 。这个独特的现象为经典不动点理论带来了新的视角，它在计算机图形学、导航系统、机器人学等实际应用中频繁出现。比如在机器人学中，运动规划算法常利用固定圆定理来确保机器人沿着圆形对称的路径或轨迹运动；在经济学中，固定圆定理有助于分析圆形均衡的存在性。但目前对于固定圆问题的研究还不够深入，缺乏统一的框架来处理各种复杂情况。
为了深入探索这一领域，来自沙特阿拉伯 Prince Sultan University 的 Sarah Aljohani 开展了关于度量似空间中Fc - 收缩（Fc - contractions）和固定圆定理（fixed - circle theorems）的研究。相关成果发表在《Heliyon》上。
研究人员在此次研究中，运用了定义和推导的方法。首先明确定义了度量似空间、圆、圆盘、固定圆、Fc - 收缩等重要概念。例如，度量似空间(Y,δ)是一个集合Y配备了满足特定条件的函数δ:Y×Y→[0,∞) ；圆Cw0,σ表示满足∣δ(w,w0)?δ(w0,w0)∣=σ的点w的集合 。在此基础上，通过严谨的推导和证明，得出了一系列重要结论。
1. C - 型Fc - 收缩
研究人员定义了 Ciri?型（C - type）Fc - 收缩。若存在t>0 ，F∈F ，w0∈Y ，使得对于所有w∈Y满足特定不等式关系，则S是 C - 型Fc - 收缩。通过证明得出，如果S是 C - 型Fc - 收缩且满足一定条件，那么S会固定点w0 ，并且Cw0,σ是S的固定圆，S还会固定圆盘Dw0,σ 。这一结论为研究具有特定收缩性质的映射在度量似空间中的行为提供了重要依据。
2. H - R - 型Fc - 收缩
接着定义了 Hardy - Rogers 型（H - R - type）Fc - 收缩。当存在满足特定条件的t 、F 、w0 ，对于所有w∈Y满足相应不等式时，S是 H - R - 型Fc - 收缩。研究证明，在一定条件下，S会固定点w0 ，Cw0,σ是固定圆，S也会固定圆盘Dw0,σ 。H - R - 型Fc - 收缩相较于 C - 型引入了更多参数，进一步细化了固定圆存在的条件。
3. R - 型和 Ch - 型Fc - 收缩
研究人员还对 Reich 型（R - type）和 Chatterjea 型（Ch - type）Fc - 收缩进行了研究。定义了 R - 型和 Ch - 型Fc - 收缩的条件，通过证明得出，在相应条件下，S会固定点w0 ，Cw0,σ是固定圆，S会固定圆盘Dw0,σ 。这两种收缩类型代表了更一般的情况，进一步验证了Fc - 收缩在解决度量似空间中固定圆问题的通用性。
4. 实例验证
研究人员给出了一个具体的度量似空间实例，定义了其上的自映射S ，并验证了S分别是 C - 型、H - R - 型、R - 型和 Ch - 型Fc - 收缩。同时确定了σ的值，进而得出S固定特定的圆和圆盘，从实际例子的角度进一步支持了理论研究成果。
此次研究在度量似空间中引入了新的Fc - 收缩类型，深入探讨了固定圆定理，极大地拓展了经典不动点理论，为理解具有圆形对称性的映射提供了新的视角。这一成果在机器人学和经济学等领域具有潜在的应用价值，有望为动态系统中的优化问题和稳定性分析提供有力的数学工具。未来，相关研究可以朝着将这些理论成果更深入地应用到实际场景中展开，进一步挖掘其在不同领域的应用潜力。
