基于约化密度矩阵采样获取纠缠谱精细结构及恢复纠缠哈密顿量的研究

为解决约化密度矩阵（RDM）受环境自由度限制难以精确提取，以及纠缠谱（ES）研究受限的问题，研究人员开展了基于量子蒙特卡罗（QMC）结合精确对角化（ED）的研究。结果表明该方法可精确提取 RDM 及 ES 精细结构、恢复纠缠哈密顿量，为相关研究提供新途径。

　　在量子世界的奇妙领域中，量子信息与凝聚态物理相互交织，碰撞出绚丽的火花。量子纠缠作为其中的关键角色，被寄予厚望用于探测量子多体系统的场论和拓扑性质。然而，目前的研究面临着诸多困境。在纠缠谱（ES）的研究方面，由于计算复杂度和内存成本呈指数增长，大多数研究只能局限于（准）一维系统。现有的数值方法，像精确对角化（ED）和密度矩阵重整化群（DMRG），在处理大纠缠区域时存在显著的局限性。即便量子蒙特卡罗（QMC）方法在研究大尺寸和高维开放量子多体系统时展现出一定优势，但它在提取 ES 时，精度有限，难以区分精细能级，且计算高阶 Rényi 熵困难重重。约化密度矩阵（RDM）虽在量子多体物理中至关重要，可生成几乎所有的纠缠量，但同样受到巨大自由度的严重制约。因此，迫切需要一种新的方法来突破这些困境，推动量子纠缠研究向前发展。

为了攻克这些难题，西湖大学、青岛大学、复旦大学等多所高校科研团队合作开展了深入研究。他们提出了一种将 QMC 与 ED 相结合的方案，旨在精确提取 RDM，并深入研究 ES 和恢复纠缠哈密顿量（EH）。这一研究成果发表在《Nature Communications》上，为量子纠缠领域带来了新的曙光。

研究人员采用的主要关键技术方法包括：利用 QMC 算法对环境进行追踪采样，结合 ED 技术获取精确的低能级信息。通过这种 QMC+ED 的组合方式，将 RDM 元素的计算转化为特殊边界条件下的配分函数模拟，借助随机级数展开（SSE）方法进行处理。

下面来看具体的研究结果：

1. 方法（Method）：在量子多体系统中，ES 通过 RDM 构建，RDM 是总密度矩阵对环境的偏迹。由于现有数值方法难以处理长边界和高维的纠缠区域，研究人员提出 QMC+ED 的解决方案。将 RDM 元素的计算视为特殊边界条件下的配分函数，用 QMC 模拟，其元素值可通过采样频率逼近12。
2. 示例 1：反铁磁（AFM）海森堡梯子（Example 1: antiferromagnetic (AFM) Heisenberg ladder）：计算两腿海森堡梯子的 ES，对比 QMC+ED 和直接 ED 的结果，发现 QMC+ED 得到的谱随着采样数增加趋近于 ED 结果，且低能级先收敛。通过计算更大尺寸系统，验证了该方法对大系统的有效性，解决了此前海森堡梯子 ES 研究中的争议，明确了速度 v 随系统尺寸的变化情况34。
3. 示例 2：铁磁（FM）海森堡梯子（Example 2: ferromagnetic (FM) Heisenberg ladder）：模拟铁磁 - 反铁磁相互作用的海森堡梯子，研究发现能量谱和普通谱函数在低能级表现不同，此前认为的二次色散差异并非由有限尺寸效应导致，而是 ES 和纠缠谱函数的差异造成56。
4. 示例 3：二维海森堡模型（Example 3: 2D Heisenberg model）：计算二维海森堡模型的 ES，选择不同几何形状的子系统 A，发现 ES 呈现出塔态（TOS）结构，反映了基态的连续对称性破缺。通过 TOS 拟合得到的横向磁化率χ⊥与 QMC 结果基本一致78。
5. 恢复 EH（Restore EH）：提出两步策略恢复 EH。先提取 QMC 模拟的 RDM，再根据关系计算 EH，通过投影确定系数。以海森堡梯子为例，恢复的 EH 与微扰理论结果对比，验证了该方法的有效性，且发现当Jrung<Jleg时，EH 中出现长程相互作用910。

在讨论部分，研究人员指出该方法的优势在于基本不受环境尺寸限制，能提取 RDM 和 ES 精细能级，但计算复杂度较高。不过，通过设置采样截断可避免高阶采样的额外成本。与其他方法相比，该方法在处理大系统尺寸、不受切割几何限制和提取 ES 精细能级方面具有显著优势。

总的来说，这项研究提出的 QMC 模拟结合 ED 的方案，成功实现了高精度 RDM 的提取，展示了 ES 的精细能级结构，解释了海森堡梯子系统中 ES 的争议，揭示了二维海森堡模型的连续对称性破缺，还提供了恢复 EH 的有效方法。这一成果为研究量子多体系统的纠缠性质提供了强大的工具，推动了量子纠缠领域的发展，在量子信息和凝聚态物理等相关领域具有重要的理论和实践意义。