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本文提出结合德尔塔法与自助法，用于估计 MLP 校准模型中预测浓度的不确定性。通过模拟数据集验证，该方法为 ANN 校准模型表征提供关键支持，对提升分析结果报告质量、推动分析方法产业转化意义重大。
引言
在分析化学领域，利用光谱技术开发多元校准方法十分常见。像主成分回归（PCR）和偏最小二乘回归（PLS）这类常用的化学计量学算法，通常依据比尔 - 朗伯定律，假设信号与浓度之间存在线性关系。然而，由于实验或物理化学方面的问题，可能会出现非线性偏差，此时就需要更灵活的建模方法，人工神经网络（ANNs）尤其是多层感知器（MLP）便受到关注。
MLP 作为经典的 ANNs 之一，因其算法成熟、公式直观且易于实现，在校准文献中频繁出现。当线性假设不成立时，MLP 相比线性模型具有更出色的预测能力。但目前基于 MLP 的分析方法在验证方面存在局限，主要原因是缺乏全面的统计表征，难以估计分析品质因数（AFOMs）。AFOMs 是方法验证的关键参数，包括灵敏度、分析灵敏度、选择性、预测不确定性、检测限（LOD）和定量限（LOQ）等，与分析方法的准确性和精密度密切相关。虽然在过去几十年中，针对各种校准场景和化学计量学模型计算 AFOMs 的理论有了很大发展，但大多局限于线性领域。
近年来，ANNs 的不确定性研究虽有不少进展，如灵敏度分析用于模型优化和变量选择，误差传播用于分类的稳健性分析，还有蒙特卡罗、贝叶斯随机失活（Bayesian dropout）和集成方法等，但这些研究大多未涉及分析校准领域，或并非专门针对 MLP。尽管如此，不确定性传播理念为估计 ANN 校准模型中的 AFOMs 提供了思路。此前，虽有研究提出了基于径向基函数（RBF）校准的 AFOMs 方程，以及 MLP 校准中分析灵敏度的估计方法，但对 MLP 关于 AFOMs 的完整表征仍未完成。
在不确定性估计方面，Faber 和 Kowalski 于 1997 年提出的误差传播理论意义重大，该理论考虑了浓度和预测变量（仪器或光谱信号）的误差。不过，将其扩展到非线性模型预测浓度方差估计时，通过经典估计方法推导解析表达式在数学上颇具挑战。自助法作为一种数值统计重采样技术，无需假设分布，为解决这一问题提供了新途径，但在基于 MLP 的校准中尚未得到充分探索。
本文旨在结合德尔塔法和自助法，提出一种稳健的方法，用于估计基于 MLP 校准模型中预测浓度的不确定性。其中，德尔塔法用于推导考虑浓度和仪器变量误差的方差结构通用表达式，自助法用于估计模型估计带来的变异性。通过模拟多个非线性多元校准数据集进行验证，并将结果应用于量化测试样本的预测不确定性，探讨实验非线性光谱数据集中的精度问题。
理论
Faber 和 Kowalski 的研究是多元校准模型不确定性研究的基石，其考虑了浓度和仪器变量带来的误差。假设
x代表分析信号，
y代表浓度，在模型
y=βTx下，
x和
y?是测量变量，满足
y?=y+Δy和
x=x+Δx，这里
Δy和
Δx是实验误差，那么线性一阶多元校准模型的通用表达式为
y?=βTx 。
模拟数据生成
研究模拟了不同的一阶光谱类非线性多元校准数据集，每个数据集分别包含 2 个或 3 个成分。在 60 个传感器的光谱工作范围内，单位浓度光谱轮廓u部分重叠。其中，成分 1（u1?，蓝色轮廓）在所有情况下均代表用于浓度预测的分析物；成分 2（u2?，红色轮廓）存在于所有模拟系统中；成分 3（u3?，绿色轮廓）则在部分系统中出现。
方差计算中第二项的解析表达式
方程（8）为估计σ2建立了通用表达式，这是表征基于 MLP 校准模型预测不确定性的基础。如前所述，模型估计带来的变异性（方程（8）的第一项）通过自助法估计，本节针对 MLP 模型的具体情况，给出了与方程（8）第二项相关的数学表达式，并推导了该表达式。
结论
本文提出并讨论了一种系统且直接的方法，用于估计基于 MLP 校准中的预测不确定性。该方法巧妙结合了德尔塔法和自助法这两种成熟的统计方法，为校准中应用最广泛的 ANN 模型之一 MLP 的 AFOMs 表征做出了重要贡献。MLP 的预测不确定性估计将有助于更全面地评估分析方法，推动分析化学领域的发展。
