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本文构建了受人工神经网络（ANN）启发的数学模型，用以描述细菌芽孢萌发的异质性、承诺、记忆及 CaDPA 释放动力学。该模型预测与实验数据契合良好，能阐释新现象，助力理解芽孢萌发机制，为相关研究提供新思路。
引言
细菌芽孢处于代谢休眠状态，对多种压力具有抗性，是食物变质和疾病传播的重要因素。当遇到营养萌发剂时，芽孢可通过萌发迅速恢复活性，失去抗性并变得易于杀灭。芽孢萌发过程涉及多个复杂现象，包括异质性、承诺和记忆，但目前其潜在机制尚未完全明晰，且缺乏能全面解释这些现象的数学模型。
以往对芽孢萌发的研究已取得一定成果，如知晓芽孢通过发芽受体（GRs）感知小分子萌发剂来触发萌发，不同芽孢物种含有多种特定 GRs，且在萌发过程中会释放单价阳离子和二吡啶甲酸钙（CaDPA）等。同时，也积累了大量关于芽孢萌发关键特征的数据，但现有模型仍无法充分解释观察到的现象。
在本研究中，受人工神经网络（ANN）的启发，构建了一个综合数学模型来描述芽孢萌发的特性。ANN 在计算神经科学和机器学习领域应用广泛，其决策过程与芽孢萌发存在相似性，因此可用于模拟芽孢萌发这一复杂过程。
结果
理论模型和假设
构建的 ANN 启发模型中，每个 GR 与萌发剂结合产生 GR 依赖的输入信号Ri，这些信号累加并加上偏置值产生萌发触发信号z。当z高于临界值zc时，芽孢进入萌发承诺状态，导致 SpoVA 通道打开，释放 CaDPA，完成芽孢萌发。
基于已知机制和实验结果，做出以下假设：一是芽孢群体中功能性 GRs 的数量m服从泊松分布；二是 GRs 被萌发剂激活产生的萌发触发信号z可积累，当z高于zc时芽孢承诺萌发；三是芽孢承诺和 SpoVA 通道打开的决策由z通过 Sigmoid 激活函数控制；四是一旦芽孢在tc时刻承诺萌发，将在tG=tc+t0时刻完成 CaDPA 的快速释放，且在给定萌发剂浓度下，承诺芽孢的t0近似恒定。
激活的 GRs 和萌发信号的产生
考虑含有m个 GRs 的芽孢，单个 GR 与营养萌发剂结合和解离的速率分别为k+c和k? 。由此可得出单个 GR 的分数占用率公式，进而引入萌发信号R的速率方程。在长时间暴露（t>>tGR ）的情况下，可得到R的解。最终，由m个 GRs 产生的萌发触发信号z可表示为特定公式，其中假设每个 GR 具有相同的占用率，且每个激活的 GR 权重相等。
承诺时间和萌发时间
当萌发触发信号z高于临界水平zc时，芽孢承诺萌发，承诺时间tc是z积累到zc的时间。由于 GR 数量m在芽孢群体中服从泊松分布，tc在群体中存在异质性，具有更多 GRs 的芽孢承诺更早，更少 GRs 的芽孢承诺更晚。对于给定的萌发剂浓度，部分 GR 数量小于临界值mc的芽孢无法启动承诺。
萌发时间tG等于承诺时间tc加上承诺与 DPA 释放之间的滞后时间t0。实验表明，在枯草芽孢杆菌（B. subtilis）芽孢萌发过程中，t0在群体测量和个体测量中存在一定范围。在计算累积萌发芽孢分数时，可近似由tc=t?t0时刻的承诺分布确定。
模拟动力学萌发分布和芽孢异质性
首先使用阶跃函数模拟芽孢承诺决策，在此模型下，芽孢群体中具有不同 GR 数量的芽孢在不同时间承诺和萌发，由此得出动力学萌发分布公式。该公式表明，高萌发剂浓度下芽孢迅速萌发，而次优浓度下部分芽孢不萌发，且平均 GR 数量增加会使萌发分布向更短时间移动，但此模型存在与实验数据不符的阶梯状行为。
使用 Sigmoid 激活函数模拟动力学萌发分布
为解决上述问题，使用 Sigmoid 函数f(z)模拟芽孢承诺决策。通过推导得出基于 Sigmoid 函数的动力学萌发分布公式，当 Sigmoid 函数的斜率w足够大时，该公式趋近于使用阶跃函数的公式。
模拟结果显示，斜率w较大时，激活函数接近阶跃函数，萌发分布曲线呈阶梯状；斜率w较小时，曲线变得平滑。将理论模型与枯草芽孢杆菌和蜡状芽孢杆菌（Bacillus cereus）芽孢萌发的实验数据拟合，结果表明该模型在最优和次优浓度下都能很好地拟合实验数据。
模拟萌发时间tG的分布
由于芽孢在t时刻萌发时，其承诺时间为tc=t?t0，因此萌发时间的分布可由萌发分布G(t)的导数得出。通过该公式计算出的理论分布与蜡状芽孢杆菌芽孢萌发的实验数据在最优和次优 L - 丙氨酸浓度下均一致。
模拟芽孢的承诺
芽孢的承诺是不可逆的过程。当芽孢暴露于短萌发剂脉冲时，部分tc≤Tb且 GR 数量m≥mT的芽孢会承诺萌发。由此得出暴露于短萌发剂脉冲的芽孢群体的动力学萌发分布公式，理论预测结果与 PS533 芽孢的实验数据相符。
模拟芽孢记忆
芽孢记忆指芽孢对初始短暂暴露于萌发剂刺激的细胞反应的保留，使第二次暴露能触发更有效的萌发。当芽孢群体暴露于第一个萌发剂脉冲时，部分 GR 数量m≥mT的芽孢承诺萌发，而m<mT的芽孢产生的激活 GR 数量和萌发信号低于阈值，无法萌发，但萌发信号会以速率β衰减。
当第二个萌发剂脉冲到达时，未萌发芽孢的萌发触发信号由第一个脉冲产生的保留信号和第二个脉冲产生的信号累加而成。由此得出暴露于两个短萌发剂脉冲的芽孢群体的动力学萌发分布公式，理论模型对枯草芽孢杆菌不同菌株芽孢记忆的实验数据拟合良好，且能预测芽孢记忆随时间的衰减，与实验结果一致。
模拟 CaDPA 分子通过 SpoVA 通道的动力学释放
CaDPA 通过通道的流出可通过简单扩散模型模拟，得出描述萌发芽孢细胞内 CaDPA 浓度C变化的速率方程及其解。该方程表明，单个芽孢的 CaDPA 释放动力学由tm、wm和kS三个参数决定。
理论模拟结果与单个芽孢的实验数据一致，且对多个蜡状芽孢杆菌芽孢 CaDPA 释放的实验数据拟合良好，进一步验证了模型的有效性。
讨论
本综合模型能够解释芽孢萌发的多种特性，包括异质性、承诺、记忆和单个芽孢 CaDPA 释放动力学，其预测结果与已发表的萌发数据高度吻合。该模型扩展了 Woese 等人的简单模型，利用现代 ANN 技术解释了萌发动力学的新方面。
与 Woese 等人的模型不同，本模型引入 Sigmoid 函数作为激活函数，更合理地描述了芽孢承诺萌发的过程，解决了阶梯状行为与实验数据不符的问题，表明芽孢群体中zc可能并非固定不变，而是在个体间略有差异。
此外，本模型还预测了芽孢萌发的一些新方面。例如，芽孢对萌发剂脉冲的记忆会随时间以速率常数β衰减，这意味着在足够长的间隔或高温孵育下，第二个脉冲萌发的芽孢分数可能低于第一个脉冲甚至为零；动力学萌发分布在很大程度上取决于芽孢群体中 GR 数量m的概率分布P(m)，改变P(m)会影响萌发分布；单个芽孢的 CaDPA 释放动力学由tm、wm和kS决定，不同 GR 数量的芽孢具有不同的 CaDPA 释放特征。
该模型在多个领域具有潜在应用价值。它可以预测环境因素对芽孢萌发动力学的影响，帮助确定最佳的萌发条件；可用于描述 AGFK 萌发过程，深入理解不同 GRs 之间的相互作用对萌发动力学的影响；有助于评估细胞膜（IM）流动性变化对萌发步骤的影响；还能探究热激活对芽孢萌发的作用机制。
