基于Caputo分数阶导数的结核病传播动力学建模：与中国实际数据的比较分析

《Scientific Reports》：Mathematical modeling of tuberculosis using Caputo fractional derivative: a comparative analysis with real data

编辑推荐：本研究针对传统整数阶模型难以准确描述结核病(TB)传播记忆效应的问题，采用Caputo分数阶导数构建流行病学模型。通过参数估计(最优分数阶φ=0.93)和敏感性分析(基本再生数R0=1.291)，发现分数阶模型比整数阶模型拟合效率提升28.5%(RMSE 5.89e+05 vs 8.24e+05)，为公共卫生决策提供了更精确的数学工具。

　　结核病(TB)作为全球十大传染病之一，在中国和印度等发展中国家持续构成重大公共卫生威胁。尽管已有卡介苗(BCG)接种和直接观察短程化疗(DOTS)等干预措施，但耐药菌株的出现和HIV共疫情控制面临挑战。传统基于常微分方程(ODE)的模型难以捕捉疾病传播中的记忆效应和非局部特性，而分数阶微积分通过引入历史依赖性，能更准确地描述这类长期动态过程。印度马拉维亚国立技术学院等机构的研究人员创新性地将Caputo分数阶导数应用于结核病传播建模，通过与中国2005-2016年实际数据对比，验证了分数阶模型在流行病学研究中的优越性。该成果发表在《Scientific Reports》上，为传染病防控提供了新的数学工具。

研究采用Adams-Bashforth-Moulton数值算法求解分数阶微分方程系统，利用MATLAB的lsqcurvefit函数进行参数估计，通过敏感性分析评估关键参数对基本再生数R₀的影响。模型将人群分为儿童(S₁)、中青年(S₂)、老年(S₃)三个易感亚群，以及潜伏期(A)、活动性感染(I)和康复(R)群体，同时纳入BCG疫苗(φ)和DOTS治疗(ψ)的干预效果。

模型分析部分首先证明了解的非负性和有界性，确保模型的生物学合理性。通过Banach不动点定理严格证明了分数阶系统解的存在唯一性。基本再生数R₀的计算显示，老年人群感染率(γ₃)和死亡率(m₃)对疾病传播具有最大影响，敏感性指数分别达0.926和-0.961。参数估计结果表明，最优分数阶φ=0.93能最好地拟合中国TB数据，其RMSE(5.89×10⁵)较整数阶模型降低28.5%。3D网格和等高线图直观展示了参数间相互作用对R₀的非线性影响。

数值模拟部分对比了不同分数阶(φ=1,0.98,0.93,0.90)下的疾病动态。结果显示分数阶模型能更准确地描述感染曲线的平缓上升和缓慢下降特征，反映了结核病潜伏期长、进展缓慢的生物学特性。特别发现BCG疫苗对儿童保护效果显著(φ=0.9)，但对中老年人群作用有限，提示需要针对不同年龄组制定差异化防控策略。

结论部分强调，Caputo分数阶模型通过0.93阶导数成功捕捉了结核病传播的记忆效应，其预测精度显著优于传统整数阶模型。该研究不仅为结核病防控提供了量化决策工具，其方法论框架也可推广至其他具有长期动态特性的传染病研究。未来可进一步探索Caputo-Fabrizio等更先进的分数阶算子，以及最大似然法等参数估计技术，持续提升模型的适用性和准确性。