噪声环境下高维量子电路在恒定深度下对偏置阈值电路的绝对优势

编辑推荐：本研究针对量子计算优势验证难题，通过构建Modular XOR非局域游戏族，证明了在恒定深度下，含噪声的prime维qudit量子电路能解决bPTC0(k)电路无法完成的问题，相关成果为量子机器学习模型超越经典神经网络提供了理论依据，发表于《Nature Communications》。

　　

量子计算领域长期面临一个核心矛盾：尽管量子设备快速发展，但验证其相对于经典计算的实质性优势仍受制于计算假设和经典算法的持续进步。现有量子优势演示多依赖复杂假设，且随着经典机器学习技术的突飞猛进，量子优势的"移动靶"特性愈发明显。在此背景下，由Michael de Oliveira、Sathyawageeswar Subramanian等国际团队在《Nature Communications》发表的研究，通过构建新型计算模型对比框架，首次在噪声环境下系统证明了高维量子系统在恒定深度计算中的绝对优势。

研究团队采用三个关键技术路径：首先设计Modular XOR非局域游戏族，将qudit系统的非经典关联特性编码为Inverted Strict Modular Relation Problems（ISMRP）搜索问题；其次开发多输出多切换引理（multi-output multi-switching lemma），将bPTC⁰(k)电路降维至决策森林模型；最后结合qudit表面码（surface code）和硬决策重整化解码器（HDRG），实现噪声环境下的容错量子计算。

在理论构建方面，研究定义了prime维qudit系统的ISMRP问题族：给定满足|x| mod p=0的输入x∈F₂ⁿ，要求输出y∈F₂^m使得|y|≡-(|x|/p) mod p。通过关联度量Corr_D(f,g)=E[Re(e^{i2π(f(x)-g(x))/p})]，证明对于k=n^1/(5d)的bPTC⁰(k)电路，其关联度呈指数衰减exp(-Ω(n^3/5))，而量子电路可实现恒定关联度(p-1)/p²。

噪声鲁棒性验证中，研究团队扩展了3D块构造方法，制备逻辑GHZ₂态，并证明在局部随机噪声（local stochastic noise）模型下，当物理错误率低于阈值时，深度11的容错量子电路仍保持0.99的成功率。特别地，对于qubit系统，研究还建立了精确情况（exact-case）下的更强分离：确定性量子电路可完美解决R₂问题，而经典电路规模需满足s≥exp(?((nk^-dm^-1/2)^1/(d-1)))。

该研究的理论突破体现在三个方面：其一，将量子优势边界扩展至bPTC⁰(k)这一包含神经网络的经典模型；其二，首次实现所有prime维qudit系统的噪声鲁棒性证明；其三，通过ANF（代数范式）分析建立了qubit系统的精确计算优势。实践意义上，研究提出的资源估算表明，在噪声环境下实现量子优势仅需数万qudit，远低于Shor算法等传统量子算法的资源需求。

讨论部分指出，这项工作为量子机器学习提供了新的理论基础：bPTC⁰(k)电路可模拟Transformer等现代神经网络，而量子电路在恒定深度下展现的超越性提示了量子神经网络的可能优势。作者同时提出开放性问题：是否每个prime维p都存在专属ISMRP问题，该猜想若成立，将类似于经典AC⁰[p]电路中的Razborov-Smolensky分离，为量子硬件设计提供维度选择指导。这些发现为近量子设备实现实用化优势开辟了新路径，同时建立了评估量子硬件的系统性基准框架。