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为研究 COVID-19 传播动态，研究人员运用分数阶微分（FOD）方法构建模型。经计算繁殖数R0D、分析稳定性等，发现R0D<1时系统稳定，R0D>1时感染会传播。该研究为疫情防控策略提供理论依据。
在新冠疫情席卷全球的背景下，病毒的传播态势复杂多变，给疫情防控带来了巨大挑战。传统的研究方法在应对这一复杂问题时存在一定的局限性，难以精准地描述疫情的动态变化以及各种因素的相互作用。为了更深入地理解新冠疫情的传播规律，探寻有效的防控策略，来自聊城大学、萨维塔工程学院、苏州科技大学等多所院校的研究人员开展了相关研究。他们的研究成果发表在《Scientific Reports》上，为疫情防控提供了重要的理论支持。
研究人员运用了分数阶微积分（Fractional Calculus）、Atangana-Baleanu 算子、Toufik-Atangana 方案等技术方法。其中，分数阶微积分可更好地描述系统的记忆和长程依赖特性；Atangana-Baleanu 算子用于构建分数阶模型，以体现系统的复杂动态；Toufik-Atangana 方案则用于数值模拟，求解分数阶微分方程。
稳定性分析
- 疾病 - free 状态分析：假设无感染情况，得出疾病 - free 平衡状态E0，其存在条件为无 COVID-19 病例报告，此时模型仅包含易感和暴露两类人群。通过计算得到E0的具体表达式为E0=(d0(d0+γ2+θ)Φ(d0+γ2),d0(d0+γ2+θ)Φθ,0,0,0) 。
- 分析繁殖数：通过假设模型中仅感染部分的情况，计算得出模型的繁殖数R0D=d0(d0+γ2+θ)(d0+δ+ω)αΦ(d0+γ2)。繁殖数是评估疾病传播能力的关键指标，其大小决定了疾病的传播趋势。
- 局部稳定性：证明了 Corona free 平衡E0在R0D<1时局部渐近稳定（LAS），此时疾病将逐渐得到控制；反之，若R0D>1，平衡变得不稳定，疾病会持续传播。通过对模型方程的线性化处理，求解特征方程的根，判断根的实部是否为负来确定稳定性。
- 地方病状态分析：当疾病持续存在时，存在地方病状态E1。通过将模型系统的所有方程设为零，求解得到E1中各状态变量的表达式，如S?=α(d0+?+φ)(Φ(d0+?+φ)+γ1?δ)(d0+θ)等。
- 地方病状态的动态分析：证明当R0D>1时，地方病平衡点E1局部渐近稳定。通过计算 Jacobian 矩阵，利用 Routh-Hurwitz 方法得到稳定性的判别条件，确保在该条件下模型的解是稳定的。
存在性和唯一性
研究人员证明了分数阶数学模型解的存在性和唯一性。在特定条件B(ζ)1?ζYi+B(ζ)Γ(ζ)ζbYi<1（i=1,2,?,5）下，系统存在唯一解。这一结论为模型的可靠性提供了理论基础，确保了模型在数学上的合理性。
Hyers-Ulam 稳定性
Hyers-Ulam 稳定性在分数阶 COVID-19 疫情模型中具有重要意义，它考虑了参数、初始条件或外部因素的有界扰动，使模型更符合现实情况。研究证明了该模型在满足一定条件下是 Hyers-Ulam 稳定的，这意味着在有界扰动的情况下，模型的预测结果仍然可靠，能够为疫情防控提供稳定的理论支持。
数值计算
由于非线性微分方程精确求解困难，研究人员采用 Toufik-Atangana 方案进行数值模拟。该方案是一种高效的数值方法，结合了微积分基本定理和两步拉格朗日多项式。通过对模型方程的离散化处理，得到数值解的迭代公式，如S(τn+1)等变量的计算公式，从而实现对疫情传播动态的数值模拟。
研究结论和讨论
本研究通过分数阶微分方法对 COVID-19 传播动态进行了全面分析和数值模拟。计算出的繁殖数R0D作为关键指标，可评估系统稳定性，判断疾病的传播或消退趋势。通过 Lyapunov 泛函方法分析全局平衡动态，发现R0D<1时系统局部稳定，感染最终会被根除；R0D>1时感染将扩散。此外，研究还探讨了分数阶系统独特的稳定性特性，利用 Toufik-Atangana 数值方法展示了分数阶导数在捕捉潜在动态方面比经典方法更精确。未来研究将致力于开发更先进的稳定性分析技术，用于非自治系统中具有分数阶导数的非线性常微分方程，这有望深化对复杂动态系统的理解，为疫情防控和公共卫生策略制定提供更有效的指导，助力全球应对类似的公共卫生挑战。
