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为探究霍乱传播动态及恢复平衡水平，研究人员构建了含噪声的分段分数阶微分方程模型。结果显示该模型有正解和遍历平稳分布，噪声影响疾病传播。这为理解和防控霍乱提供了新的理论依据。
霍乱，这个古老而又危险的疾病，一直以来都威胁着人类的健康。它是由霍乱弧菌（Vibrio cholerae）感染胃肠道系统引发的，是一种会危及生命的腹泻病。近年来，霍乱在多个国家时有爆发，如 2018 年 10 月在赞比亚首都卢萨卡、2019 年 7 月在非洲部分地区都出现了霍乱传播的情况。据世界卫生组织（WHO）估计，全球每年有 150 万 - 500 万例霍乱发生，死亡人数达 2.2 万 - 14.9 万。面对如此严峻的形势，深入了解霍乱的传播规律和防控策略刻不容缓。
以往的研究虽然在霍乱建模方面取得了一定进展，但仍存在一些问题。传统的整数阶微分方程模型难以精确描述霍乱传播过程中的复杂现象，而考虑到疾病传播受环境等多种随机因素影响，以往模型在这方面的刻画也不够完善。为了更深入地探究霍乱的传播动态以及恢复平衡水平，来自巴基斯坦政府学院大学、埃塞俄比亚沃莱加大学、沙特阿拉伯伊玛目穆罕默德?本?沙特伊斯兰大学和沙特阿拉伯塔伊夫大学的研究人员开展了一项重要研究，相关成果发表在《Scientific Reports》上。
研究人员构建了一个包含噪声的分段分数阶微分方程模型，该模型结合了 Caputo 分数阶导数和 Atangana - Baleanu - Caputo 分数阶导数算子，全面地描绘了宿主作为传染源的地理转移以及感染传播的变化模式。
在研究方法上，主要运用了以下关键技术：一是构建分数阶数学模型，通过对经典模型进行非维度化处理，引入 Caputo 和 Atangana - Baleanu - Caputo 分数阶导数算子，使模型更贴合实际；二是进行平衡分析，研究不同情况下模型的平衡点，判断疾病的传播状态；三是利用随机分析方法，将噪声引入模型，探讨其对疾病传播的影响；四是采用全局敏感性分析，通过偏秩相关系数（PRCC）方法，确定关键影响因素。
在研究结果方面：
- 模型的基本性质：证明了模型解的正性和有界性，确保了模型在生物学上的合理性。在平衡点分析中发现，当病原体细菌数量低于感染阈值（κ=0）时，系统存在无病毒或感染的平衡点；当超过阈值（κ=1）时，会出现不同数量的平衡点，且这些平衡点的存在与模型参数密切相关。
- 局部稳定性和分岔分析：通过计算 Jacobian 矩阵和特征多项式，研究了平衡点的局部稳定性。结果表明，当基本再生数（R0） < 1 时，无病平衡点E0(1,0,0)是局部渐近稳定（LAS）的。同时，模型会根据参数变化发生分岔现象，如基于?和φ4等参数的变化，系统的平衡点数量和稳定性会相应改变。
- 随机分析：构建随机模型并证明了其具有唯一的全局正解，且当R0s > 1 时，模型具有遍历性和唯一的平稳分布，这意味着传染病会在社区中传播和持续存在。通过对随机模型稳定性的分析，研究人员发现噪声强度会影响疾病的传播，较大的噪声扰动可能导致疾病消失，而较小的扰动则可能使疾病在人群中持续存在。
- 数值分析与实际应用：运用数值算法对模型进行求解，通过对坦桑尼亚霍乱数据的分析，验证了模型的有效性。敏感性分析确定了?、φ2等关键变量对基本再生数（R0）的重要影响，为防控策略的制定提供了理论依据。例如，在不同初始条件和噪声强度下的数值模拟，展示了疾病传播的不同趋势。
研究结论表明，该模型能够有效刻画霍乱传播的复杂动态过程，为理解霍乱的传播机制提供了新的视角。同时，研究中发现的随机过程阈值值Rs0以及遍历平稳分布，有助于预测霍乱的存在或可能的根除情况。此外，通过敏感性分析确定的关键因素，为制定针对性的防控策略提供了有力支持，例如可以通过控制这些关键因素来降低霍乱的传播风险，减少疾病带来的危害。这项研究在霍乱防控方面具有重要的理论和实际意义，为公共卫生决策提供了科学依据，有望推动全球霍乱防控工作取得新的进展。
