几何布朗运动拟合优度检验新方法及其在金融时间序列模型评估中的应用

本研究针对Black-Scholes模型基础假设验证的需求，开发了一种基于函数型数据的几何布朗运动(GBM)拟合优度检验新方法。通过构建BHEP型检验统计量，实现了对线性漂移缩放布朗运动的复合零假设检验。该方法创新性地利用经验标准化技术，使检验统计量分布独立于未知参数，显著提升了计算效率。模拟研究表明该检验在有限样本下具有优越功效，为金融时间序列模型验证提供了高效工具。

　　

在金融数学领域，几何布朗运动(Geometric Brownian Motion, GBM)作为Black-Scholes期权定价模型的核心假设，其有效性直接影响金融衍生品定价的准确性。然而传统检验方法存在计算复杂、功效不足等问题，特别是在处理函数型数据时缺乏有效工具。随着高频交易数据的普及，开发适用于连续时间随机过程的拟合优度检验方法成为亟待解决的统计难题。

为应对这一挑战，研究人员在《Computational Statistics》发表了一项创新研究。该工作将经典的BHEP(Baringhaus-Henze-Epps-Pulley)检验思想拓展至函数型数据场景，构建了基于特征泛函距离的新型检验统计量。通过巧妙设计经验标准化步骤，使统计量分布摆脱了对漂移参数μ和波动率σ的依赖，从而避免了传统方法需要重采样获取临界值的计算瓶颈。

关键技术包括：(1)基于二次变差的最大似然估计方法获取参数估计量μ?_n和σ?_n；(2)构建L²空间上的经验特征泛函?_n(f)；(3)采用Wiener测度或Legendre多项式随机组合作为积分测度Q；(4)利用Hilbert空间中心极限定理推导极限分布。

【研究结果】
2.1 检验问题构建
将GBM的对数转换形式X(t)=μt+σB(t)定义为具有线性漂移的缩放布朗运动，建立复合假设检验框架H₀:F∈F vs H₁:F?F，其中F为缩放布朗运动分布族。

2.2 参数估计
推导出μ?_n=n^-1∑X_j(1)和σ?_n=√[n^-1∑X_j]的显式表达式，证明其满足√n-一致性及渐近正态性。

2.3 检验统计量
构建T_n=n∫|?_n(f)-?_0,C1(f)|²Q(df)的积分型统计量，给出等价计算形式T_n=∫V_n²(f)Q(df)，其中