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为探究 COVID-19 传播动态，研究人员开展分数阶（FO）离散易感 - 感染 - 康复（SIR）模型有限时间稳定性（FTS）研究。结果显示该模型能捕捉记忆效应，数值模拟验证了理论结果。这为公共卫生干预设计和数学流行病学发展提供助力。
新冠疫情给全球人口带来了巨大影响，据世界卫生组织数据，2020 - 2021 年期间，COVID-19 导致全球约 1483 万人超额死亡，远超官方报告的 542 万人。在疫情防控中，数学模型发挥着重要作用，其中易感 - 感染 - 康复（SIR）模型被广泛应用于分析和预测疾病传播。然而，传统整数阶 SIR 模型存在局限性，其预测准确性依赖数据质量，且因简化设计，难以准确反映疾病传播中的复杂情况，如忽略了过去状态对当前的影响。
为了更精准地模拟疾病传播，解决传统模型的不足，国外研究人员开展了关于分数阶（FO）离散 SIR 模型有限时间稳定性（FTS）的研究。该研究成果发表在《Computer Methods and Programs in Biomedicine Update》上。
研究人员在这项研究中运用了多种关键技术方法。首先，利用离散分数阶微积分理论，对模型进行深入分析。通过定义分数阶和、Caputo 型差 分、离散 Mittag-Leffler 函数等，为模型构建提供了理论基础。其次，通过设定不同的初始条件和参数值，进行数值模拟。采用一种求和技术来近似求解分数阶差分方程，以验证理论结果。
在模型构建方面，研究人员构建了 FO 离散 SIR 模型，该模型考虑了疾病传播中的记忆效应和非局部相互作用。模型中，分数阶差分算子Δ0?Λ和CΔ0Λ（其中Λ代表分数阶）能体现变量在离散时间步长上的分数阶变化，反映过去感染或恢复对当前动态的影响。模型变量包括易感人群数量S(t)、感染人群数量I(t)和康复人群数量R(t)，参数如出生率α、感染率?、恢复率?等，各参数具有明确的现实意义。
在有限时间稳定性分析方面，研究人员对系统在无病平衡点和大流行平衡点的 FTS 进行了研究。通过理论推导得出系统 FTS 的充分条件，即当满足特定条件时，系统在有限时间内收敛到平衡状态。例如，在定理 3 中，证明了系统在满足一定初始条件和 Mittag-Leffler 函数相关条件时是 FTS。
在数值模拟部分，研究人员进行了两个案例研究。在无病场景模拟中，设定了特定的初始值和模型参数，如S(0)=10，I(0)=1，R(0)=1，α=2.75，?=0.1等。通过模拟发现，感染人群数量I(t)在有限时间（T=5 s）内迅速趋近于零，这表明系统在无病平衡点是稳定的，验证了理论预测。同时，Mittag-Leffler 函数的衰减特性也支持了系统的稳定性。在大流行固定点模拟中，同样设定了相应的初始值和参数，如S(0)=1，I(0)=1，R(0)=3，α=0.5，?=1等。模拟结果显示，系统收敛到一个大流行固定点，感染人群数量保持为正，这验证了在大流行情况下模型的稳定性和对持续感染动态的捕捉能力。
研究结论表明，FO 离散 SIR 模型在分析 COVID-19 传播动力学方面具有显著优势，相较于传统整数阶模型，它能更准确、灵活地模拟现实世界的疾病传播。通过数值模拟，验证了模型在不同参数设置下无病平衡点和大流行平衡点的 FTS。这一研究成果具有重要意义，它为公共卫生干预措施的设计提供了有力支持，有助于制定更有效的疫情防控策略。同时，也推动了数学流行病学的发展，为进一步研究复杂的疾病传播现象提供了新的思路和方法。
在讨论部分，研究人员指出，该研究虽然取得了一定成果，但仍有进一步拓展的空间。未来可以从多个方向进行研究，如纳入疫苗接种动态，分析疫苗接种策略、时机和有效性；建模无症状病例，更全面地了解感染规模；评估非药物干预措施，如隔离、检疫和物理距离措施对疾病进展的影响；考虑人口异质性，捕捉年龄、合并症或区域差异等因素；探索空间动力学，模拟疾病在地理区域的传播；研究长期记忆效应，分析 FO 参数对延迟干预、免疫力下降或周期性爆发的影响；以及开发更高效的数值技术，解决高阶 FO 系统的计算问题，以适应实时场景和大数据集的应用。这些拓展方向将进一步提升模型的实用性和准确性，为应对复杂的流行病学挑战提供更有力的工具，帮助政策制定者和卫生保健规划者制定更具针对性的干预措施，优化公共卫生成果。
