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在网络安全备受关注的当下，研究人员针对布尔控制网络（BCNs）在周期性拒绝服务（PDoS）攻击下的稳定性问题展开研究。通过定义控制 Lyapunov 函数（CLF）等方法，设计相应控制策略，证明系统稳定与 CLF 存在的等价性，为 BCNs 安全控制提供理论支持。
在当今数字化时代，网络安全就像一座城市的安保系统，守护着各类复杂的网络系统正常运转。布尔控制网络（BCNs）作为模拟细胞网络和基因调控网络的重要模型，在系统生物学、密码学等诸多领域发挥着关键作用。然而，网络攻击如同隐藏在暗处的 “黑客”，时刻威胁着 BCNs 的稳定运行。其中，拒绝服务（DoS）攻击是一种典型的网络攻击形式，它通过阻断网络节点间的信息传递，导致正常数据丢失，严重影响系统功能。而周期性 DoS 攻击（PDoS 攻击）由于其攻击信号的周期性，成本更低且更易实施，对 BCNs 的威胁更为普遍。比如，在基因调控网络中，类似 PDoS 攻击的干扰可能会中断基因节点间的信息交互，影响生物功能的正常发挥；在通信网络里，这种攻击会阻碍信息流动，降低网络性能。以往针对传统控制系统的攻击研究成果，无法直接应用于 BCNs。因此，为了保障 BCNs 在 PDoS 攻击下的稳定性和可控性，研究人员开展了相关研究。
研究人员针对 BCNs 在 PDoS 攻击下的稳定性问题进行深入探究。他们将受攻击的 BCN 转化为切换布尔控制网络（SBCN），通过一系列理论推导和设计，得出了重要结论。研究表明，BCNs 在 PDoS 攻击下能实现全局稳定的充要条件是存在控制 Lyapunov 函数（CLF）。同时，研究人员还提出了 Lyapunov 系数设计方法，方便构建 CLF，并且针对状态 - 控制通道和输出 - 控制通道受攻击的不同情况，分别设计了状态反馈控制和输出反馈控制策略，有效应对了 PDoS 攻击导致的信息滞后问题。这些研究成果为 BCNs 的安全控制提供了新的理论依据和实用方法，对保障相关网络系统的稳定运行具有重要意义，该研究成果发表在《Franklin Open》。
研究人员在开展研究时，运用了多种关键技术方法。首先是半张量积（STP）的矩阵方法，该方法将 BCNs 的动态转化为离散时间系统，方便后续分析。通过定义相关数学概念和构建模型，如根据 PDoS 攻击信号的特点构建 BCNs 在 PDoS 攻击下的模型，把状态变量和控制变量转化为向量形式得到代数形式的模型。此外，还利用 CLF 方法分析系统稳定性，并通过设计 Lyapunov 系数来确定 CLF，从而为系统稳定提供保障。
下面具体来看研究结果：
- 基于 CLF 的稳定性：研究人员给出了 CLF 的定义，并证明了其存在与 BCNs 在 PDoS 攻击下稳定性的等价性。对于给定的固定点xe∈Δ2n，若存在 CLF，则 BCNs 可通过控制序列全局稳定到该固定点。具体来说，从定义出发，推导出相关命题，如命题 1 表明定义中第一个条件与另外两个条件等价，进而通过定理 1 证明了系统稳定与 CLF 存在的充要关系。
- Lyapunov 系数设计寻找 CLF：为了使 BCNs 在 PDoS 攻击下全局可稳定，研究人员设计了 Lyapunov 系数。通过对 BCNs 模型和控制的分析，将系统转化为包含两个子系统的切换系统，定义了候选 CLF。通过定义 4 给出了 Lyapunov 系数满足的条件，定理 2 则表明存在满足条件的 Lyapunov 系数是 BCNs 在 PDoS 攻击下可全局稳定的充要条件。
研究结论表明，通过定义 CLF 和设计 Lyapunov 系数，能够有效分析 BCNs 在 PDoS 攻击下的稳定性，并设计出相应的控制策略实现系统的全局稳定。这一研究成果意义重大，为 BCNs 在面对网络攻击时的安全控制提供了理论基础和实际操作方法。在未来，有望进一步应用于基因调控网络、通信网络等实际场景，保障这些网络系统在遭受攻击时的正常运行，推动相关领域的发展。同时，也为后续研究其他类型的网络攻击以及更复杂的网络系统稳定性问题提供了参考和借鉴，促进网络安全领域的不断进步。
