综述：基于 Adam-Bashforth 方法的分数阶疟疾模型预防策略影响分析

本文构建 Caputo 分数阶数学模型模拟疟疾传播动态，聚焦预防措施占比 π 的作用，借助不动点定理分析解的存在唯一性及稳定性，发现提高 π 可减少感染人群和蚊媒数量，社区协同防控超 50% 可助力根除疟疾，为优化防控策略提供理论依据。

　　

1. 引言

疟疾是撒哈拉以南非洲致命的虫媒传染病，虽有儿童疫苗但防控仍严峻。预防措施正确使用可辅助根除，其实施比例 π 至关重要。经典整数阶模型缺乏对 “记忆效应” 的描述，而分数阶模型（如 Caputo 导数）能通过非局部算子更好刻画疾病传播中的历史影响，为研究疟疾动态提供更优工具。

2. 分数阶微积分预备知识

• 定义 2.1（伽马函数）：Γ(α?)=∫₀^∞e^-tt^α??1dt，α?>0，是分数阶微积分的基础函数。
• 定义 2.2（分数阶积分）：函数 p 的 α?阶分数阶积分通过积分公式定义，涉及伽马函数及整数 n（n=?α??+1）。
• 引理 2.1（均值定理）：对于函数 V (t)∈C [a,b]，0<α?≤1，存在关系式 v (t)=V (ν)+[1 γ(α?)]>^α?V(η)(t?ν)^α?，0≤η≤t。
• 定义 2.3（Mittag-Leffler 函数）：E_α?,β(w)=∑_k?=0^∞w^k?/Γ(α?k?+β)，特殊地 E_α?(w)=E_α?,1(w)。

3. 模型构建与分析

• 整数阶模型：构建含人类和蚊媒的 SEIRS-SI 模型，人类分易感 (S_h)、潜伏 (E_h)、感染 (I_h)、康复 (R_h) 类，蚊媒分易感 (S_v)、潜伏 (E_v)、感染 (I_v) 类，描述各仓室间转换关系。
• 分数阶模型：将整数阶模型推广为 Caputo 分数阶模型，算子 D^α?（0<>
• 正定性与有界性：证明模型解在区域 Π⁺内为正且有界，确保模型流行病学意义合理，人类和蚊媒总数量分别不超过 Λ_h^α?/μ_h^α?和 Λ_v^α?/μ_v^α?。
• 存在唯一性：通过不动点方法将模型表示为分数阶微分方程形式，证明解的存在唯一性，为模型求解和分析奠定基础。

4. 数值模拟与结论

利用 Adam-Bashforth 方法求解分数阶模型数值轨迹，发现增加预防率 π 可有效降低感染人类和蚊媒数量。当社区协同强化防控，超 50% 人群采取措施时，感染蚊媒显著减少，助力区域疟疾根除。模型结合分数阶微积分，为疟疾防控策略优化提供了更贴合实际的数学框架，强调了预防措施比例在疟疾控制中的关键作用。