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在期权定价中， regime-switching 框架下解析解缺失，现有数值技术耗时。研究人员采用物理信息残差学习（PIRL）开展欧式期权定价研究，发现其无需重新训练、计算高效，为复杂模型下期权定价提供新工具。
在金融市场的浪潮中，期权作为重要的风险管理与投机工具，其定价问题始终是数学金融领域的核心议题。自 1973 年 Black-Scholes-Merton（BSM）模型问世以来，学者们不断尝试用更复杂的随机模型刻画标的资产动态，以应对现实市场中的波动率微笑、肥尾效应等现象。例如，随机利率、随机波动率、跳跃过程等模型相继被提出，而 regime-switching 模型因能通过连续时间马尔可夫链简约地描述宏观经济因素对资产价格的影响，近年来备受关注。然而，这类模型往往缺乏解析解，传统的蒙特卡洛模拟（MC）、偏微分方程求解或特征函数反演（如快速傅里叶变换 FFT）等数值方法在面对高频计算需求时显得力不从心 —— 金融市场每日需完成海量计算，从模型校准到期权定价、风险对冲指标计算，这些结果时效性极强，传统方法的耗时特性难以满足实时更新需求，开发高效定价方法成为学界与业界的共同诉求。
在此背景下，来自相关研究机构的研究人员开展了一项颇具创新性的研究，其成果发表在《Expert Systems with Applications》。他们将目光投向新兴的机器学习领域，特别是物理信息深度学习（PIDL），试图将其与期权定价的物理规律结合，解决 regime-switching 框架下欧式期权的定价难题。研究得出，所提出的物理信息残差学习（PIRL）模型能高效生成不同参数和规格下的期权价格，为复杂金融模型的定价提供了近乎即时的解决方案，显著提升了计算效率。
研究主要采用的关键技术方法包括：构建基于 regime-switching 的金融市场模型，利用 Feynman-Kac（FK）定理将期权定价问题转化为耦合偏微分方程系统；设计物理信息残差学习（PIRL）框架，将金融物理规律（如偏微分方程）嵌入深度学习架构，通过残差学习机制训练模型；运用数值实验对模型性能进行评估，对比传统方法验证其效率与准确性。
建模框架
研究构建了一个无摩擦金融市场模型，以过滤概率空间 (Ω,F,P,Ft∈[0,T]) 描述市场不确定性，包含无风险利率 r 的现金账户与标的资产 St。通过连续时间马尔可夫链刻画经济状态转换，使标的资产动态参数（如波动率、漂移率）随不同经济 regime 随机切换，形成 regime-switching 框架下的随机微分方程系统，最终基于 Feynman-Kac 定理建立耦合偏微分方程组描述期权价格动态。
物理信息残差学习（PIRL）
PIRL 作为物理信息深度学习（PIDL）的变体，融合了机器学习的表征能力与金融物理规律。其核心是将期权定价的偏微分方程作为约束条件嵌入深度神经网络，通过残差块结构加速训练收敛。模型输入为标的资产价格、时间、波动率等参数，输出为欧式看跌期权价格。该框架具有通用性，可扩展至 n 个经济状态的期权定价场景，且一旦训练完成，无需重新训练即可快速处理不同参数组合的定价需求。
数值结果
研究针对 BSM 模型与 Heston 随机波动率模型在 regime-switching 框架下的欧式看跌期权定价展开实验。通过超参数调优确定 PIRL 的网络架构（如层数、神经元数量），对比传统数值方法发现，PIRL 在不同市场条件（如高波动率 regime、低利率 regime）下均能快速生成准确的期权价格，计算耗时显著低于蒙特卡洛模拟与有限差分法。此外，研究还分析了希腊值（如 Delta、Gamma）并进行敏感性分析，验证了 PIRL 在风险指标计算中的有效性。
结论与讨论
本研究首次将物理信息残差学习（PIRL）应用于 regime-switching 框架下的欧式期权定价，为缺乏解析解的复杂金融模型提供了高效解决方案。实验表明，PIRL 通过嵌入 Feynman-Kac 偏微分方程，有效利用物理先验知识减少数据依赖，且训练后可近乎即时计算期权价格，极大提升了高频交易与实时风险管理场景下的定价效率。相较于传统方法需每次参数变更时重新计算，PIRL 的灵活性与高效性具有显著优势，为金融工程领域引入了新的技术范式。该研究不仅拓展了物理信息深度学习在定量金融中的应用边界，也为处理高维、非线性金融问题提供了可借鉴的方法论，对学术界和工业界的期权定价实践具有重要参考价值。
