编辑推荐：
推荐
为更精准刻画传染病传播的非线性特征与记忆效应，研究人员构建含无症状感染的 Caputo 分数阶 SEIR 模型，引入广义发生率。证明了当R0<1时无病平衡点全局渐近稳定，R0>1时地方病平衡点全局稳定，为复杂传染病防控提供理论支撑。
论文解读
研究背景与意义
传染病始终是人类社会面临的重大挑战，从古代埃及的天花疫情到近年的 COVID-19 大流行，每一次危机都深刻影响着人类文明进程。传统整数阶微分方程构建的传染病模型（如经典 SEIR 模型）虽在描述疾病传播动态方面发挥了重要作用，但因其基于 “瞬时作用” 假设，难以捕捉疾病传播中的记忆效应（如潜伏期的长时影响、人群免疫力的缓慢衰减等）以及非线性传播特征（如饱和感染率、无症状感染者的隐匿传播等）。例如，COVID-19 疫情中约 30-40% 的无症状感染者对传播的贡献显著，而传统模型若忽略此类群体，会导致基本再生数R0估计偏差达 18% 以上。此外，现实中感染率常受人口规1模、行为变化等因素影响呈现非线性特征，传统双线性发生率难以准确刻画这些复杂动态。
为突破上述局限，北方民族大学数学与信息科学学院的研究人员开展了分数阶传染病模型的深入研究，相关成果发表于《Scientific Reports》。该研究通过引入 Caputo 分数阶导数和广义发生率，构建了更贴近真实传播场景的 SEIR 模型，为传染病动力学研究提供了新的视角与工具。
研究方法概述
研究主要采用以下关键技术方法：
- Caputo 分数阶导数建模：利用 Caputo 算子描述疾病传播的非局部性与记忆效应，其定义基于积分形式，通过幂律核函数(t?u)?γ关联过去状态对当前的影响，适用于刻画潜伏期、免疫衰减等长时动态。
- *广义发生率函数3*：设计满足f(0)=0、f′(x)>0等条件的函数f(S)和gi(Ii)，涵盖双线性、饱和型、Crowley-Martin 等多种发生率形式，以反映不同传播机制。
- *稳定性分析理论4*：运用 Lyapunov 函数法结合分数阶不等式，证明无病平衡点（P0）和地方病平衡点（P?）的全局渐近稳定性；通过下一代矩阵法计算基本再生数R0，量化传播潜力。
- 敏感性分析与数值7模拟：针对典型发生率函数（如f(S)=S、gi(Ii)=βiIi），计算各参数对R0的偏导数与标准化敏感性指数，识别关键影响因素；利用 MATLAB 进行数值仿真，验证理论结果并比较不同分数阶γ下的动态差异。
研究结果分析
10
模型构建与适定性
研究提出含无症状感染的 Caputo 分数阶 SEIR 模型：
???0CDtγS(t)=Λ?f(S)(g1(I1)+g2(I2))?μS,0CDtγE(t)=f(S)(g1(I1)+g2(I2))?(?+μ)E,0CDtγI1(t)=p?E?(μ+α+r1)I1,0CDtγI2(t)=q?E?(μ+α+r2)I2,0CDtγR(t)=r1I1+r2I2?μR,其中
γ∈(0,1]为分数阶阶数，
I1和
I2分别表示有症状和无症状感染者，
p+q=1刻画两类感染比例。通过 Lipschitz 连续性
23分析，证明模型在非负区域
Ω={(S,E,I1,I2,R)∈R+5∣S+E+I1+I2+R≤S0}内存在唯一非负解，且解始终保持在该区域内，确保模型适定性。
稳定性与基本6再生数
- 无病平衡点稳定性：当R0<1时，无病平衡点P0(S0,0,0,0,0)（S0=Λ/μ）全局渐近稳定。通过构造 Lyapunov 函数V1(t)=C1∫S0Sf(τ)f(τ)?f(S0)dτ+C2E+C3I1+C4I2，结合分数阶导数性质，证明此时疾病将逐渐消亡。
- 地方病平衡点存在性8与稳定性：当R0>1时，模型存在唯一地方病平衡点P?(S?,E?,I1?,I2?,R?)，且全局渐近稳定。通过分析函数Ψ(E)=f(S)(g1(I1)+g2(I2))?(?+μ)E的单调性与零点，结合 Lyapunov 函数V2(t)的构造，验证了此时疾病将达到稳态传播。
敏感性分析
9针对双线性发生率场景（f(S)=S，gi(Ii)=βiIi），计算得到R0=R1+R2（R1、R2分别为有症状和无症状感染的再生数分量）。敏感性分析表明，传播率β1、β2和诊断率?对R0的正向影响最大，而恢复率r1、r2和死亡率μ、α则呈负向影响。标准化敏感性指数显示，β1、β2的指数值接近 1，证实其为疾病控制的关键靶点。
数值模拟验证11
通过两组参数设置（高传播率组与低传播率组），模拟不同分数阶γ下的动态行为：
- 高传播率场景（β1=β2=2.65×10?8）：当γ从 0.8 增至 1 时，R0从 1.89 升至 2.58，感染人数峰值随γ增大而升高，且达到稳态的时间延长，体现分数阶的 “记忆强度” 对传播的延缓作用。
- 低传播率场景（12β1=β2=2.65×10?11）：所有γ下R0<1，感染人数最终降至零，验证了无病平衡点的稳定性。
模拟还表明，分数阶模型需比15整数阶模型多 1.5-2 倍计算时间，但通过自适应步长可在不损失精度的前提下减少 30% 计算成本，平衡了模型复杂度与实用性。
研究结论与讨论13
本研究通过引入 Caputo 分数阶导数与广义发生率，构建了更具普适性的 SEIR 模型，揭示了以下核心结论：
- 分数阶导数的独特价值：其非局部性与记忆效应可有效刻画疾病传播中的历史依赖性，如潜伏期的累积影响和免疫衰减的长期动态，弥补了整数阶模型的不足。例如，低γ值（如 0.8）对应强记忆效应，使感染人数快速衰减，而高γ值（如 0.95）则反映更弱的历史影响，导致传播过程更缓慢持久。
- 无症状感染的关键14作用：模型明确无症状感染者（占比q=0.3166）可显著提升R0，强调在疫情防控中需重视此类群体的监测与管理，传统模型若忽略无症状传播可能低估疫情风险。
- 防控策略的理论依1据：敏感性分析指出，降低传播率（如通过社交距离措施）和提高诊断率、恢复率（如优化医疗资源配置）是降低R0的核心手段。例如，减少高感染群体的接触频率可直接降低β1，从而有效控制传播。
该研究为传染病建模提供了5更精确的数学工具，其提出的分数阶模型可通过调整阶数γ动态适配不同疫情阶段的记忆特征，未来若结合变阶分数导数或空间异质性分析，有望进一步提升模型对复杂传播场景的刻画能力。研究结果不仅深化了对传染病动力学的理论认知，也为公共卫生部门制定精准防控策略（如干预时机、资源分配）提供了量化依据，具有重要的科学意义与现实指导价值。
