植物入侵动态的双自由边界反应-扩散模型：成功与失败的阈值条件解析

本研究针对植物入侵过程中的空间扩散机制，创新性地建立了包含双自由边界的年龄结构连续空间(ASCS)反应-扩散模型。通过定义阈值参数J0和J0F(t)，研究人员系统分析了入侵植物的动态行为，揭示了初始值大小与扩散能力μ对入侵成败的决定性作用。该研究为生物入侵防控提供了重要的理论依据，提出的"扩张-消亡二分法"为生态管理策略制定提供了量化指标。

　　

在全球气候变化和人类活动加剧的背景下，生物入侵已成为威胁生态系统平衡的严峻挑战。中国目前已有超过380种入侵植物，这些不速之客不仅破坏农业生态系统，影响畜牧渔业环境，甚至危及人类健康。传统研究多采用统计方法和计算机模拟，但受限于数据获取的难度和成本，难以全面揭示入侵动态规律。这促使科学家们转向数学建模这一有力工具，试图解码植物入侵背后的时空传播密码。

扬州大学数学科学学院的研究团队独辟蹊径，将流行病学中的基本再生数概念创造性应用于植物入侵研究。他们构建的年龄结构连续空间(ASCS)模型，巧妙地将植物分为幼龄(u)和老龄(v)两个阶段，并引入种子密度(w)作为扩散载体。通过建立双自由边界条件s_l(t)和s_r(t)，该模型首次实现了对入侵前沿动态扩张过程的精确刻画。这项开创性工作发表在《Scientific Reports》上，为理解生物入侵的成败机制提供了全新的理论框架。

研究采用的关键技术包括：1）建立反应-扩散方程系统描述年龄结构种群动态；2）引入自由边界条件模拟扩张前沿；3）运用阈值参数J₀=αδ/h和J₀^F(t)=αβδ/[h(β+p(π/(s_r(t)-s_l(t)))²)]分析系统稳定性；4）通过比较原理和Hopf引理进行严格数学证明；5）数值模拟验证理论结果。

【存在性与唯一性】研究首先证明了双自由边界问题解的存在唯一性。通过构造收缩映射和Schauder估计，建立了全局解的存在性定理。特别发现自由边界具有严格单调性：左边界s_l(t)递减，右边界s_r(t)递增，且满足-2s₀<s_l(t)+s_r(t)<2s₀的几何约束条件。这些数学性质为后续动力学分析奠定了坚实基础。

【长期行为分析】研究揭示了植物入侵的"成败二分法"：当J₀≤1时，无论初始条件如何，植物都将灭绝；当J₀^F(t₀)≥1时，入侵必然成功；而在J₀^F(0)<1<J₀的临界状态下，初始种群规模成为决定因素——大规模初始种群导致成功入侵，小规模则走向灭绝。这些结论通过严格的比较原理和上下解方法得到证明。

【数值验证】研究选取β=0.1, δ=0.01等典型参数进行数值模拟。结果显示：当扩散系数p=5、扩张能力μ=1时，自由边界快速扩展，系统趋于稳定正平衡态；而当p=10、μ=0.5时，边界扩张缓慢，种群快速衰减至零，直观验证了理论预测。

这项研究的重要价值在于将抽象的数学理论与具体的生态管理相结合。提出的阈值参数J₀^F(t)可视为植物入侵的"生态预警指标"，其与栖息地大小的正相关关系为防控策略提供了量化指导：通过分割入侵区域为孤立斑块，降低有效栖息地面积，可使J₀^F(t)降至临界值以下，从而实现自然控制。该模型框架还可拓展应用于研究平流效应、非局部相互作用等复杂因素对入侵过程的影响，为生物安全屏障构建提供理论支撑。