基于持续同调的点云拓扑控制Laplace-Beltrami算子计算方法研究

本文针对点云数据Laplace-Beltrami(LB)算子计算中传统k近邻(k-NN)方法导致的拓扑失真问题，提出了一种基于持续同调(Persistent Homology)的拓扑优化算法。研究团队通过构建带权重的Vietoris-Rips复形，结合迭代拓扑优化过程，有效消除了虚假连接边，在多个点云数据集上验证了该方法能更精确地保持流形拓扑结构，为点云平滑、形状分析等下游计算提供了更可靠的算子基础。

　　

在几何处理领域，Laplace-Beltrami(LB)算子是形状分析和曲面处理的核心工具，其离散化计算在网格数据上已相对成熟。然而当面对无拓扑连接信息的点云数据时，传统k近邻(k-NN)方法构建的邻域图常会产生跨越结构间隙的虚假连接，导致流形拓扑失真。这种拓扑错误会显著影响LB算子在点云平滑、参数化和谱分析等应用中的准确性。

针对这一挑战，研究人员创新性地将计算拓扑学中的持续同调(Persistent Homology)理论引入点云LB算子计算领域。该方法首先通过k-NN建立初始邻域图，基于局部切平面估计赋予边权重，构建带权重的Vietoris-Rips复形。通过分析持续同调的配对算法，识别并移除导致拓扑畸变的虚假边，经过迭代优化获得符合真实流形拓扑的邻域结构。实验证明，相比传统方法，该算法在特征向量计算和热传导模拟等任务中能更准确地保持流形拓扑特性。

关键技术包括：1) 基于k-NN的初始邻域图构建；2) 局部切平面权重估计；3) 带权重Vietoris-Rips复形构建；4) 持续同调分析的拓扑优化迭代。研究采用Z₂系数简化同调计算，通过追踪正单纯形(Positive Simplex)与负单纯形(Negative Simplex)的配对关系，实现O(V²)时间复杂度的拓扑优化。

【主要研究结果】

1. 邻域优化方法
   通过对比k-NN原始连接与优化后连接（图1），证明该方法能有效消除跨越结构间隙的虚假边，保持正确的流形拓扑。持续同调分析识别出的长寿命拓扑特征对应真实流形结构，而短寿命特征多为噪声边。

2. 算法复杂度分析
   提出的拓扑优化算法时间复杂度为O(V²)，优于需要全局法向一致性的曲面重建方法。通过限制在局部邻域进行持续同调计算，避免了重建整个曲面的计算开销。

3. 应用验证
   在特征向量计算中，优化后的LB算子产生更符合流形几何的本征函数；在热传导模拟中，热传播模式更准确反映真实拓扑结构。相比Pang等提出的图神经网络方法，本方法不依赖训练数据，具有更好的泛化性。

该研究首次将持续同调直接应用于LB算子邻域图优化，避免了传统方法需要先重建拓扑正确曲面的中间步骤。通过保持正确的Betti数(β_p)，确保离散LB算子与连续流形在拓扑层面的一致性。这项工作为处理含薄壁结构、密集特征的点云数据提供了新思路，在几何处理、医学图像分析等领域具有重要应用价值。未来可进一步探索该方法与机器学习技术的结合，提升对噪声和异常点的鲁棒性。