三维微分神经网络3DMeshNet：基于物理信息学习的结构化网格生成新方法

本文针对数值模拟中高质量结构化网格生成效率低、传统方法在复杂几何体上适应性差的问题，提出了一种融合3D椭圆偏微分方程(PDE)与神经网络的创新方法3DMeshNet。该研究通过将网格生成转化为无监督优化问题，采用有限差分加速导数计算，结合损失函数重加权和梯度投影技术，实现了训练时间减少85%、网格生成效率提升4-8倍的突破性成果，为计算流体力学(CFD)等领域提供了高效可靠的网格生成工具。

在工程仿真和科学计算领域，高质量网格生成一直是制约数值模拟效率的瓶颈。传统代数方法如Transfinite插值(TFI)虽快速但易产生网格畸变，而基于椭圆PDE的方法虽精度高却计算耗时。尤其对于复杂三维几何体，现有方法面临收敛不稳定、训练周期长等挑战，MGNet等神经网络方法也仅限于二维场景。

中国某研究机构团队在《Graphical Models》发表的研究中，开发了首个面向三维结构化网格生成的物理信息神经网络3DMeshNet。该方法创新性地将参数空间到计算空间的映射建模为神经网络优化问题，通过嵌入3D椭圆PDE控制方程作为损失项，结合有限差分加速导数运算、多任务损失加权策略和梯度投影技术，实现了高效稳定的网格生成。研究选用6种典型几何体验证，结果显示该方法在保持网格质量的前提下，较传统TFI方法降低4-8倍计算开销，相比其他神经网络方法缩短85%训练时间。

关键技术方面，研究团队主要采用：1) 基于泰勒展开的有限差分层替代自动微分，高效计算二阶导数项；2) 基于同方差不确定性的多任务损失加权策略，平衡控制方程残差(?²ξⁱ=Pⁱ)与表面拟合项的优化；3) 梯度投影算法协调不同损失项的梯度冲突；4) 张量形式的双内积运算简化椭圆方程(α₁x_ξξ+2β₁₂x_ξη=0)的表示。

研究结果部分，通过"3.1问题构建"阐明了参数空间[0,1]³到计算空间的映射原理；"3.2网络架构"展示了包含有限差分层的双分支设计，其中物理信息学习分支通过系数张量A与导数张量D的双内积实现方程约束；"3.3损失函数"验证了有限差分法计算二阶导数(如x_ζζ)的精度比自动微分提升2个数量级。在四类三维测试案例中，该方法生成的六面体网格雅可比矩阵质量均优于传统方法15%以上。

结论指出，3DMeshNet首次将物理信息神经网络(PINN)成功扩展到三维网格生成领域，其创新性的梯度协调机制解决了PINN训练不稳定的共性问题。该技术为航空航天叶片通道、血管支架等复杂结构的仿真提供了新范式，未来可通过引入自适应采样策略进一步拓展应用场景。这项工作标志着人工智能与计算几何交叉研究的重要进展，相关代码架构已开源供学术界和工业界应用。