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本文聚焦分数阶 Gray-Scott 反应 - 扩散模型，针对其有限时间稳定性与同步性问题展开研究。通过定义平衡点，结合 Lyapunov 函数等分析，得出有限时间稳定性条件与同步方案，为复杂系统控制提供数学框架，推动分数阶微积分在化学反应等领域的应用。
在科学研究的广阔领域中，复杂系统的动态行为始终是研究者们关注的焦点。分数阶微积分作为传统微积分的拓展，因其能刻画具有记忆和遗传特性的系统，在描述反常扩散、粘弹性材料等复杂现象中展现出独特优势。然而，对于分数阶反应 - 扩散系统（如 Gray-Scott 模型）的有限时间行为，包括稳定性和同步性等关键问题，目前的研究仍不够深入。这些系统在化学模式形成、生物系统模拟等领域具有重要应用价值，深入探究其有限时间内的特性，能为实际应用中的精准控制提供理论支撑。
为填补这一研究空白，相关研究人员开展了分数阶 Gray-Scott 模型的有限时间行为研究。该研究围绕模型的稳定性和同步性展开，旨在明确其在有限时间内达到平衡和实现同步的条件，为复杂系统的控制提供更精确的理论指导。研究成果发表在《International Journal of Cognitive Computing in Engineering》。
研究中主要采用了分数阶微积分理论，涉及 Caputo 分数导数、Riemann-Liouville 分数阶积分算子等关键概念，结合 Lyapunov 函数方法构建稳定性分析框架，并通过数值仿真验证理论结果。同时，针对主从系统设计了有限时间同步方案，通过数学推导和严格证明，确立了同步控制的条件和策略。
3. 有限时间稳定性结果
研究首先分析了系统的平衡点，区分了初始平衡点和有限时间平衡点。通过构建 Lyapunov 函数，结合 Poincaré 不等式等工具，推导出有限时间稳定性的条件。结果表明，当满足特定条件（如 min (μ1Ξ1-K, μ2Ξ2+K)>0）时，系统能在有限时间内达到稳定状态，且给出了稳定时间的估计表达式。研究还探讨了不同参数（如扩散系数 μ1、μ2，反应速率 F、K）对稳定性的影响，揭示了系统参数与稳定时间的内在联系。
4. 有限时间同步方案
在主从系统框架下，研究人员设计了控制器 C1和 C2，以实现系统的有限时间同步。通过定义同步误差 e，并构建误差系统方程，利用分数阶 Lyapunov 方法分析得出，通过合理设计控制器，可使同步误差在有限时间内收敛至零。该方案为实际应用中多系统的协同控制提供了可行的数学模型和控制策略，拓展了分数阶系统在同步领域的应用场景。
研究结论表明，分数阶 Gray-Scott 模型在满足特定条件时具备有限时间稳定性，且通过设计合适的控制器可实现主从系统的有限时间同步。这一成果不仅丰富了分数阶系统理论，为复杂化学反应、生物模式形成等领域的建模和控制提供了新的视角和方法，还为实际工程中需要快速达到稳定状态或实现协同工作的系统设计提供了理论依据，推动了分数阶微积分在生命科学、工程控制等交叉领域的应用与发展。研究通过严谨的数学推导和数值验证，确保了结论的可靠性，为后续相关研究奠定了坚实的理论基础。
