矩形有限元在负泊松比材料力学行为建模中的应用研究

本研究针对传统有限元方法在模拟负泊松比（NPR）材料力学行为时的局限性，通过开发兼容/非兼容矩形有限元（含线性与二次形函数），实现了对六边形手性蜂窝（hexachiral）和重入式（re-entrant）等典型拉胀结构的精准应力-应变建模。研究证实非兼容形函数能有效捕捉拉胀材料的特征应力分布，为多层复合材料设计提供了高效计算工具。

　　

在材料科学领域，具有负泊松比（Negative Poisson's Ratio, NPR）的拉胀材料（auxetic materials）因其独特的力学性能备受关注。与传统材料受拉伸时横向收缩不同，这类材料会横向膨胀，展现出优异的抗剪切性、能量吸收能力和阻尼特性。然而，现有有限元方法在模拟拉胀材料时面临重大挑战——经典形函数虽能描述位移场，却难以准确预测其特有的应力分布和力学响应。

针对这一瓶颈问题，研究人员在《International Journal of Engineering Science》发表的研究中，系统评估了矩形有限元对拉胀材料的建模能力。研究聚焦两类典型结构：六边形手性蜂窝（hexachiral）和重入式蜂窝（re-entrant），通过开发兼容线性形函数和非兼容二次形函数，建立了适用于正交各向异性材料的平面应力模型。

关键技术包括：1）构建含四节点矩形有限元的位移场插值函数，引入无量纲坐标ξ=2(x-x_c)/a_fe和η=2(y-y_c)/b_fe；2）采用均匀化方法将离散蜂窝结构转化为连续介质模型；3）通过静态剪切和压痕实验验证模型精度。

2. 矩形有限元推导
研究首先建立适用于各向同性和正交各向异性材料的矩形有限元理论框架。通过定义节点位移分量v^x和v^y，开发出能同时处理常规材料和拉胀材料的通用表达式。特别针对正交各向异性情况，调整了非兼容矩形有限元的解析表达式。

3. 各向同性拉胀材料模拟
在剪切载荷作用下，固定边界条件（u_x,y,z(0≤x≤a,y=0,0≤z≤h)=0）的模拟显示，经典形函数虽能反映整体位移，但应力分布与实验偏差显著。而非兼容形函数成功捕捉到拉胀材料在受力时的局部应力集中现象。

4. 蜂窝结构力学状态分析
对六边形手性蜂窝的模拟表明，其旋转对称的圆柱节点-韧带结构（图15a）产生的特殊变形机制，仅能通过非兼容形函数准确再现。重入式蜂窝的压痕测试进一步证实，传统形函数会低估实际应力值达30%以上。

结论与讨论
该研究突破性地证明：非兼容二次形函数能有效解决拉胀材料建模的核心难题。其意义在于：1）为多层拉胀蜂窝夹芯板（如航空航天用复合材料）提供高效计算工具；2）通过解析表达式替代商业软件三维建模，计算效率提升显著；3）建立的通用框架可扩展至其他超材料研究。这项工作标志着有限元方法在先进材料模拟领域的重要进展，为拉胀结构的工程应用奠定理论基础。