基于扩展(G′/G)展开法的时空分数阶扩散捕食-被捕食系统精确解及其动力学分析

本文针对传统方法难以求解复杂分数阶微分方程的难题，成都大学计算机科学学院吴杰团队创新性地采用扩展(G′/G)展开法，成功获得时空分数阶扩散捕食-被捕食系统的多组精确解。研究发现当分数阶μ=λ≈0.7时系统出现混沌现象，且解的特性随分数阶变化呈现规律性迁移：低阶时奇异性向边界聚集，趋近1时向时空角平分线移动。该研究为生态学中种群动态模拟提供了新的数学工具，发表于《Scientific Reports》。

　　

在生态学和数学物理的交叉领域，捕食-被捕食系统的动力学研究一直是热点课题。传统整数阶微分方程虽然能描述种群交互的基本规律，却难以刻画自然界普遍存在的记忆效应和反常扩散现象。随着分数阶微积分的发展，科学家们发现时空分数阶模型能更精确地模拟这些复杂行为，但由此带来的求解难题又成为新的瓶颈——传统解析方法难以处理这类非线性方程，而数值解又无法揭示系统的深层动力学特性。

针对这一挑战，成都大学计算机科学学院吴杰团队联合四川大学数学学院的研究人员，在《Scientific Reports》发表了一项突破性研究。他们创新性地将扩展(G′/G)展开法应用于Conformable分数阶导数定义的时空分数阶扩散捕食-被捕食系统，首次获得包含负指数项的精确解族，并系统揭示了分数阶参数对解的结构和稳定性的调控规律。

研究采用的关键技术包括：1) Conformable分数阶导数定义（保留经典导数运算规则）；2) 扩展(G′/G)展开法（引入负指数项构建更广的解空间）；3) 行波变换将偏微分方程转为常微分方程；4) 齐次平衡原理确定解的最高阶次；5) 基于判别式Δ=β²-4α(α-1)γ的三种情形分类讨论。

主要研究结果
精确解构造
通过行波变换ξ=(x^λ/λ)-c(t^μ/μ)将原系统转化为ODE，设定解形式为?₁(ξ)=a₀+a₁(G′/G)+a_-1(G′/G)^-1。在Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况下，分别推导出6类解析解（式20-29），其中Case 3解包含平方根项和分数阶参数耦合项，结构最为复杂。

动力学行为分析
当μ=λ=0.5时，3D图像显示：Δ>0时出现捕食者主导模式（图1-2），Δ=0时呈现共生状态（图7-8）。特别值得注意的是，分数阶参数在0.7附近引发解的剧烈震荡（图21f），Lyapunov指数分析证实该区域存在混沌现象。

分数阶效应
随着μ、λ从1减小到0：1) 解曲面奇点从时空角平分线向边界迁移；2) 折叠区域解的规则性显著降低；3) μ=λ=0.7时出现临界敏感现象，参数微小变化（如0.700001→0.7）导致解的结构突变（图22）。

结论与意义
该研究通过严格的数学推导，首次证明扩展(G′/G)展开法能有效求解Conformable分数阶捕食-被捕食系统，获得的精确解揭示了传统数值方法难以捕捉的动力学特性：1) 分数阶参数可作为生态平衡的调控开关；2) 0.7附近出现的混沌现象为生态系统突变预警提供理论依据；3) 解的空间分布规律为种群扩散研究提供新视角。

这项工作不仅为分数阶微分方程理论增添了新解法，更重要的是为生态建模提供了可定量分析的数学工具。未来结合Sobolev空间理论对解的正则性进行先验估计，或通过Lyapunov指数量化混沌强度，将成为值得探索的方向。正如作者指出，该方法在HBV病毒传播（参考文献11）、HIV治疗优化（文献32）等生物医学领域同样具有应用潜力，展现出跨学科研究的重大价值。