基于多胞渐进均匀化的应变梯度弹性理论及其在尺寸效应分析中的应用

针对应变梯度弹性理论中因本征材料长度参数引发的数值溢出难题，研究人员通过多胞均匀化构建渐进展开方法，将位移矢量和频率参数展开为级数形式，结合新提出的边界条件与统一恒等式，成功解析了应变梯度杆/梁的自由振动问题。该方法为克服传统数值方法(FEM/BEM)的局限性提供了有效计算工具，发表于《International Journal of Engineering Science》。

　　

在微纳米材料力学性能研究中，尺寸效应始终是困扰科学家的核心难题。自然界的竹材、骨骼等分级结构启示我们：微观拓扑决定宏观力学行为。然而，当经典弹性理论遭遇微尺度结构时，其预测结果往往与实验观测存在显著偏差。应变梯度弹性理论(Strain Gradient Elasticity Theory)通过引入本征材料长度参数，成功描述了这种尺寸依赖性，却在数值求解时面临致命瓶颈——随着参数趋近宏观尺度，传统有限元法(FEM)等数值工具会出现计算溢出。这一"微观精确、宏观失效"的矛盾，严重阻碍了该理论在工程实践中的应用。

针对这一挑战，中国研究人员在《International Journal of Engineering Science》发表创新成果。他们采用多胞渐进均匀化方法，将位移场u和频率参数ω展开为小参数ε的幂级数，通过Hamilton原理建立不同阶次的边界值问题(BVP)序列。利用新提出的边界条件(BCs)和统一恒等式，最终获得应变梯度杆/梁自由振动问题的解析解。关键技术包括：多尺度渐进展开、边界条件重构、级数截断法以及基于代表体积元(RVE)的均匀化策略。

多胞均匀化导出的应变梯度弹性理论
通过Krajcinovic模型推导出包含高阶应力张量的本构方程，证明微观位移场的一阶多项式假设可导出应变梯度关系。相较于传统虚拟功率原理，采用Hamilton原理验证了边界值问题的等效性。

应变梯度理论的渐进展开方法
将位移场u(x)分解为u⁽⁰⁾+εu⁽¹⁾+ε²u⁽²⁾级数，频率参数ω展开为ω₀+εω₁+ε²ω₂。通过量纲分析和泰勒展开，建立各阶控制方程，其中关键突破在于处理ε→0时的数值奇点问题。

杆件的渐进展开应用
以一维弹性杆为例，应变分量ε_x=u′(x,t)，通过Hooke定律导出包含长度参数l的应力表达式。求解特征方程获得各阶频率修正项，证明零阶解退化为经典弹性理论，高阶项则精确捕捉尺寸效应。

梁结构的渐进解析
针对Euler-Bernoulli梁模型，建立包含l²?⁴w项的控制方程。通过引入无量纲化处理，成功避免数值溢出，获得适用于简支/固支等复杂边界条件的频率解析式。

该研究开创性地将渐进展开法引入应变梯度理论，其意义体现在三方面：理论层面，建立了连接微观本征参数与宏观响应的数学桥梁；方法学上，提出的统一恒等式可推广至其他非经典连续介质模型；工程价值在于为MEMS器件等微纳结构设计提供可靠计算工具。研究同时揭示：当l/L<10^-3时，传统数值方法失效风险骤增，而渐进解仍保持稳定——这一发现为后续跨尺度建模提供了重要阈值参考。