时间分数阶Black-Scholes模型下期权定价的局部径向基函数改进方法及其应用研究

本文针对传统Black-Scholes模型(BSM )在刻画金融市场记忆效应和非马尔可夫特性中的局限性，提出了一种基于局部紧致集成径向基函数方法(LCIRBFM)的时间分数阶Black-Scholes模型(T-FBSM)数值解法。研究采用二阶位移Grünwald格式进行时间离散，结合子域紧凑格式和集成RBF插值处理空间导数，证明了半离散化方案在L2 空间中的无条件稳定性。该方法显著提升了欧式和美式期权定价精度，为金融衍生品风险对冲提供了更优决策工具。

　　

金融市场的复杂波动往往展现出传统模型难以捕捉的"记忆效应"和长程相关性。经典的Black-Scholes模型(B^SM
)基于几何布朗运动假设，无法描述资产收益的"厚尾"分布和波动聚集现象。这就像试图用直尺测量蜿蜒的河流——当市场出现剧烈波动时，传统模型往往会严重低估风险。更棘手的是，美式期权允许持有者在到期日前任意时间行权，其定价问题本质上是一个带约束的非线性问题，对数值方法的稳定性和精度提出了更高要求。

针对这些挑战，伊朗科学技术大学的研究团队在《Journal of Computational Science》发表了一项创新研究。他们通过引入Caputo型时间分数阶导数重构了经典B^SM
，建立了更符合实际的时间分数阶Black-Scholes模型(T-FBSM)。为求解这个具有非局部特性的偏微分方程，研究团队开发了局部紧致集成径向基函数方法(LCIRBFM)，该算法巧妙地将二阶位移Grünwald格式与子域紧凑格式相结合，在保证计算效率的同时实现了空间二阶、时间二阶的收敛精度。

关键技术包括：1) 采用(2-γ)阶精度的移位Grünwald公式离散Caputo时间分数阶导数；2) 基于集成RBF和五点中心模板构建空间离散格式；3) 通过能量法证明半离散格式在L²
范数下的无条件稳定性；4) 引入惩罚项处理美式期权的提前行权约束。测试案例涵盖标准欧式看涨期权、含交易成本的非线性市场模型以及美式看跌期权三种典型场景。

【时间离散化】
研究首先证明了移位Grünwald公式在Caputo导数近似中的二阶收敛性，通过引入虚拟节点技术消除初始条件不连续带来的误差。理论分析表明，当γ→1时该方法自然退化为经典B^SM
的Crank-Nicolson格式，保持了良好的兼容性。

【理论分析】
利用能量估计方法严格推导了半离散格式的稳定性条件，获得关键不等式：‖u^k
‖_L²

≤ C‖u⁰
‖_L²

。该结果表明解的能量随时间递减，不受时间步长限制，为实际计算提供了理论保障。

【空间离散化】
LCIRBFM的创新性体现在：1) 采用相邻5点构建局部支持域，相比全局RBF大幅降低矩阵条件数；2) 通过Hermite积分技术直接逼近二阶导数，避免传统RBF对形状参数的敏感依赖；3) 引入紧凑模板将计算复杂度从O(N³
)降至O(N)。

【数值分析】
在欧式期权测试中，当γ=0.9时，LCIRBFM相比经典有限差分法将最大相对误差降低2个数量级。特别值得注意的是，该方法在捕捉"波动微笑"现象时展现出显著优势，其隐含波动率曲线的拟合误差仅为参照方法的1/5。对于美式期权，通过引入连续惩罚函数，成功解决了自由边界问题带来的数值振荡。

这项研究通过数学严谨性和计算实用性的完美结合，为金融工程领域提供了强有力的分析工具。时间分数阶导数的引入使模型能够更真实地反映市场记忆效应，而LCIRBFM的创新设计则突破了传统方法在处理高维、非线性问题时的计算瓶颈。研究结果不仅对期权定价理论有重要贡献，其核心算法还可推广至其他具有非局部特性的物理系统模拟中。随着高频交易和复杂衍生品的快速发展，这类兼具理论深度和应用价值的研究将发挥越来越重要的作用。