随机变量相依性下的Hoeffding泛函分解新框架及其在敏感性分析中的应用

本文针对依赖变量函数分解这一关键科学问题，提出基于Hilbert空间理论的广义Hoeffding分解方法。研究团队通过构建正交投影算子，在非完美函数依赖和非退化随机依赖假设下，实现了依赖变量函数的唯一层次正交分解，为敏感性分析(SA)、人工智能可解释性(XAI)和不确定性量化(UQ)领域提供了新工具。该成果发表于《Journal of Multivariate Analysis》，解决了传统方法因独立性假设导致的解释偏差问题。

　　

在统计学和机器学习领域，如何准确分解依赖随机变量的函数贡献度一直是悬而未决的难题。传统Hoeffding分解作为高维模型表示(HDMR)的核心工具，虽在敏感性分析(SA)和人工智能可解释性(XAI)中广泛应用，但其严格独立性假设严重制约了实际应用——现实中变量往往存在复杂依赖关系。现有解决方案或牺牲理论严谨性，或局限于特定分布（如排除高斯分布），导致分析结果失真。这一瓶颈促使研究者们寻求更普适的数学框架。

来自法国电力集团(EDF R&D)和人工智能图卢兹研究院(ANR-3IA)的Marouane Il Idrissi团队在《Journal of Multivariate Analysis》发表突破性研究。他们创新性地运用Hilbert空间理论，建立了两大核心假设：非完美函数依赖（排除确定性关系）和非退化随机依赖（通过Feshchenko矩阵正定性保证）。在此框架下，研究者证明了Lebesgue空间L²
(σ_X
)可分解为层次正交子空间⊕_A∈PD

V_A
的直和，其中V_A
为X_A
可测的交互作用空间。这一理论突破使得任意平方可积函数G(X)均可唯一表示为G(X)=∑_A∈PD

G_A
(X_A
)，其中G_A
(X_A
)∈V_A
。

关键技术方法包括：1) 基于σ-代数条件期望的条件投影算子构建；2) Feshchenko矩阵的正定性验证；3) 层次正交空间的递归表征技术；4) 针对双变量伯努利分布和高斯分布的解析推导。

主要研究结果

1. 广义Hoeffding分解：在定理1中严格证明了直和分解的有效性，其关键创新在于通过斜投影(oblique projection)处理变量依赖性，相比传统正交投影更符合实际场景。
2. 假设验证体系：提出非完美函数依赖的三重检验标准（σ代数非空性、严格包含性和交性质）和非退化依赖的矩阵判据，为实际应用提供可操作的验证流程。
3. 方差分析应用：推导出新型敏感性指标η²
   _A
   =Var[G_A
   (X_A
   )]/Var[G(X)]，在双变量伯努利案例中展示如何区分真实交互作用与依赖效应。
4. 计算优化路径：讨论了基于距离最小化问题的估计方法，为后续算法开发奠定理论基础。

这项研究的意义在于首次建立了依赖变量泛函分解的严格数学框架，其创新性体现在三个方面：理论层面统一了Chastaing的直观性和Hart的严谨性；方法层面突破了正态分布等传统限制；应用层面为SA/UQ领域提供了更可靠的分析工具。正如作者指出，未来工作将聚焦于高效估计算法开发，这将极大推动工业系统风险评估和AI模型解释的实际应用。