多类型分支过程模型解析COVID-19变异株的灭绝概率与流行峰值时间：基于异质性免疫人群的应用研究

研究人员针对COVID-19变异株(VoC)在异质性免疫人群中的传播动态，构建了包含疫苗接种和既往感染免疫的多类型分支过程模型，结合随机模拟与解析方法，量化了VoC在人群中的灭绝概率、建立时间及流行峰值时间的不确定性。该研究为政策制定者设计边境管控和干预措施提供了关键时间窗口预测，模型结果适用于英国等多样化免疫背景的人群。

　　

随着COVID-19大流行的持续，新型关切变异株(VoC)的不断出现对全球公共卫生构成严峻挑战。这些变异株往往具有更高的传播力或免疫逃逸能力，而各国人群因疫苗接种和自然感染形成的异质性免疫背景，使得变异株的传播动力学变得异常复杂。传统均质化模型难以准确预测变异株在部分免疫人群中的传播轨迹，亟需开发新的数学模型来量化变异株入侵成功的概率及其时间特征。

针对这一科学问题，研究人员开展了一项创新性研究，通过构建连续时间多类型Galton-Watson分支过程模型，整合了人群的四种免疫状态：完全易感、仅接种疫苗、仅既往感染、以及既接种又感染。模型将感染者分为暴露(E)和感染(I)两类，每种免疫状态对应不同的传播参数，从而精确刻画异质性免疫背景下VoC的传播动态。研究首次将分支过程与扩散近似相结合，解析了VoC在人群中的灭绝概率、建立时间阈值T^*
以及达到流行峰值的时间分布。这项发表于《Journal of Theoretical Biology》的工作，为评估边境管控措施效果和制定精准干预策略提供了量化工具。

研究主要采用以下关键技术方法：1) 多类型分支过程建模，包含8种个体类型(4种免疫状态×2种感染状态)；2) 概率生成函数(PGF)分析灭绝概率；3) 主导特征向量投影实现高维过程的一维扩散近似；4) 首次通过时间(FPT)理论计算变异株建立时间；5) 基于英国实际免疫背景的参数校准。

2.1 多类型分支过程模型
研究人员建立了包含2m=8种类型的连续时间分支过程，其中m=4代表四种免疫背景的"出生类型"。通过定义类型依赖的传播率β_jk
和恢复率γ，构建了后代分布的概率生成函数。模型特别考虑了疫苗接种和既往感染对传播率的影响，设置相对易感性参数σ_{Vac}
^VoC
=0.4，σ_{WT}
^VoC
=0.6。

2.2 变异株建立时间
创新性地定义了变异株在人群中的建立标准：1) 变异系数c(t)=σ_Z
(t)/μ_Z
(t)变化率低于阈值ε=10^-3
；2) 灭绝概率q(t)变化率同样低于ε。满足这两个条件的最小时间T
对应的病例数Z
=μ_Z
(T^*
)，标志着变异株已稳定建立，后续可用确定性模型描述。

2.3 一维扩散近似
为解决高维分支过程解析难题，研究将多维过程投影到下一代矩阵Ω的主导特征向量v₁
上，获得一维扩散过程dV_t
=rV_t
dt+√(v₁
^T
Cv₁
)dW_t
。其中r是Ω的最大特征值，C是协方差矩阵。这种近似大幅简化了首次通过时间分布的计算。

2.5 COVID-19 VoC模型应用
以英国为例，模型参数设置：潜伏期δ^-1
=3天，传染期γ^-1
=4天，基础再生数R₀
∈[2.7,4.4]。通过求解确定性的野生株-疫苗动力学方程组，获得四种免疫状态人群的平衡比例S_I
^∞
，作为分支过程的初始条件。

3.1 异质性免疫流行病模型
模拟显示当R_eff

1时，单个传播链的灭绝概率趋近常数q_∞
<1；而存在输入病例(η=0.1/天)时，零病例概率r(t)随时间趋近于0。这表明高传播力变异株终将在人群中建立，但防控措施可延迟这一过程。

3.2 疫情建立时间
研究发现R_eff
从1.32增至2.15时，建立时间T^*
显著缩短。扩散近似与随机模拟结果高度吻合，验证了方法的可靠性。首次通过时间分布呈现右偏特征，为政策制定提供了风险时间窗的完整分布。

这项研究建立了量化变异株入侵动态的创新框架，其核心贡献在于：1) 首次将多类型分支过程与扩散近似结合，解决了异质性免疫人群的建模难题；2) 提出了基于变异系数和灭绝概率变化率的客观建立标准；3) 为评估边境管控(调节η)和社交限制(调节R_eff
)的效果提供了量化工具。研究结果可直接应用于疫情防控，如确定加强疫苗接种的最佳时间窗，或评估入境隔离期限的科学性。模型框架的普适性使其可扩展至其他多血清型传染病的防控研究，为应对未来新发传染病提供了重要的方法论储备。