基于奇异值分解的平方根卡尔曼滤波：现有实现方法与新型技术的全面评述

针对传统卡尔曼滤波(KF)在有限精度计算中出现的数值不稳定问题，本文系统综述了基于奇异值分解(SVD)的平方根KF实现方法，涵盖Riccati和Chandrasekhar递归两类框架下的协方差型、信息型及混合型算法，并提出两种新型信息型Riccati算法。研究通过数值实验验证了SVD方法在病态问题中的优越性，为高可靠性滤波提供了理论支撑。

　　

在航天工程和信号处理领域，卡尔曼滤波(Kalman Filter, KF)自1960年代诞生以来一直是状态估计的核心工具。然而，阿波罗计划中的早期实践暴露了传统KF在有限精度计算中的致命缺陷——误差协方差矩阵可能出现负值，这种理论不可能现象源于计算机舍入误差的累积。随着系统维度增加、矩阵条件数恶化，传统基于Cholesky分解的平方根方法已难以应对现代工程中高频出现的病态场景。

葡萄牙的研究团队在《Digital Signal Processing》发表的论文中，首次对基于奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)的平方根KF方法进行了系统性梳理。研究聚焦时不变离散系统，通过数学推导和数值实验证明：相比传统方法，SVD框架不仅能处理半正定矩阵（如测量噪声协方差奇异的情况），还能通过监控奇异值实时捕捉状态变量的近似线性相关性。更突破性的是，团队创新性地引入双曲SVD(Hyperbolic SVD)构建了同质信息型滤波器，解决了早期信息型V-Lambda滤波器在数值鲁棒性上的缺陷。

关键技术包括：1) 对Riccati和Chandrasekhar两类递归框架下的SVD实现进行统一建模；2) 采用双曲SVD处理信息型滤波中的非正定矩阵运算；3) 基于1965年发表的经典测试案例构建数值验证体系，对比分析协方差型(Algorithm 1)、信息型(Algorithm 2)及混合型算法的精度表现。

Survey of current SVD-based KF techniques
研究首先建立了线性离散随机系统状态空间模型，其中系统矩阵F∈R^n×n
、G∈R^n×q
和H∈R^m×n
为时不变矩阵。通过严格数学推导证明：SVD分解可将传统KF中的矩阵求逆转化为正交矩阵转置与对角阵标量除法，显著提升病态矩阵(如R_e,k
)处理的数值稳定性。

Modified V-Lambda Kalman filter
针对信息型V-Lambda滤波器在状态向量恢复过程中的数值敏感问题，提出改进方案：通过双曲SVD重构测量更新步骤，避免人工信息值d?_k|k
计算时的舍入误差累积，使算法在cond(F)>10⁸
的极端条件下仍保持有效位数。

Numerical experiments
复现1965年发表的经典测试案例显示：新算法将协方差矩阵对角元素的相对误差从传统方法的10^-3
量级降至10^-9
；在故意引入的秩亏测量噪声(R_k
半正定)场景下，SVD方法仍能稳定运行而Cholesky类方法全部失效。

Concluding remarks
该研究不仅填补了SVD-KF方法学的综述空白，更通过双曲SVD的应用拓展了信息型滤波的理论边界。开放性问题包括：1) 时变系统的SVD-KF通用框架构建；2) 特征值截断阈值与计算效率的量化关系；3) 多精度混合计算架构下的算法优化。这些发现为高维导航系统、医学影像处理等领域的实时滤波提供了新的方法论基础。