算子理论视角下双参数弱平稳随机过程的瞬逝部分研究及其半平面依赖性分析

本文针对二维弱平稳随机过程(WSP)的瞬逝部分(Evanescent part)这一经典理论难题，提出基于算子理论的新研究方法。研究人员通过建立半平面(S)定义下Hilbert空间等距算子的分解模型，首次完整描述了瞬逝部分与半平面几何形态的对应关系：水平半平面对应酉算子-单边移位对，有理斜率半平面对应广义幂(GP)算子对，无理斜率则对应连续给定算子。该成果发表于《Journal of Multivariate Analysis》，为随机场预测理论提供了普适性分析框架。

　　

在多元时间序列分析和图像处理等领域，二维随机场的预测理论长期面临一个核心挑战：如何准确描述其瞬逝部分(Evanescent part)的特性。这一概念源自Helson和Lowdenslager的经典分解理论，他们将弱平稳随机过程(WSP)分为确定性、瞬逝和纯非确定性三部分，其中瞬逝部分作为"最难以捉摸的成分"，其数学本质与半平面(S)定义的过去(past)结构密切相关。传统谱分析方法难以揭示瞬逝部分与半平面几何形态的内在联系，这一理论空白严重制约了气象预测、医学影像分析等实际应用中的预测精度提升。

为突破这一瓶颈，研究人员开展了一项开创性研究。通过将随机场重新表述为Hilbert空间中的交换等距算子对(V₁
,V₂
)，他们构建了半平面依赖的算子分解模型。研究团队首先证明了Suciu分解中的奇异部分(Strange part)恰好对应随机场的瞬逝分量，进而运用Slociński兼容对分解理论，首次建立了半平面旋转角度与算子类型的精确对应关系。这项发表在《Journal of Multivariate Analysis》的工作，从根本上改变了人们对瞬逝部分的认识方式。

关键技术包括：1) 基于Bochner定理的谱表示转换；2) Hilbert空间等距算子的最小酉延拓；3) 半群作用下不变子空间的渐进分析；4) 兼容算子对的Fuglede-Putnam定理应用；5) 非对称半平面(S_v
)的几何表征技术。

【主要结果】

1. 水平半平面的算子特征
   当半平面为水平型(S_[0,-1]
   )时，瞬逝部分对应酉算子与单边移位的直和(V₁
   ⊕V₂
   )。这一结论通过证明Wold分解在二维情形的非平凡推广而获得。

2. 有理斜率半平面的分解
   对于由整数向量v=(k,l)定义的半平面，瞬逝部分完全由广义幂(GP)算子生成。研究显示GP算子空间H_gp
   与Helson的"奇异空间"同构，其维数由gcd(k,l)决定。

3. 无理情形的连续谱
   当半平面旋转角θ满足tanθ?Q时，瞬逝部分表现为连续给定算子。通过构造Torus上的谱测度，研究者证明了这类算子具有不可约的连续谱特性。

4. 预测误差的几何解释
   创新性地提出"半平面曲率"概念，证明预测误差的渐进衰减率与S的边界曲率呈负相关，这为实际应用中的参数优化提供了理论指导。

研究最终建立了完整的"半平面-算子"对应词典：水平半平面对应酉算子-单边移位对(V₁
^U
,V₂
^S
)，有理半平面对应广义幂对(V₁
^GP
,V₂
^GP
)，无理情形则必然产生连续谱算子。这一发现不仅完善了多维随机过程的预测理论，更为图像纹理分析、气候建模等应用提供了新的分析工具。值得注意的是，研究揭示的"几何依赖性"表明，传统时间序列分析中忽视空间取向的方法可能导致信息损失，这对医学影像的动态预测具有重要启示意义。