基于全局-局部自适应重采样策略的物理信息神经网络性能增强研究

为解决物理信息神经网络(PINNs)在求解偏微分方程(PDEs)时对配点数量和分布敏感导致的收敛失败问题，研究人员提出结合蒙特卡洛积分的全局-局部自适应重采样策略(GLAR)。该策略通过动态调整全局域与高残差区域的配点分布，使非线性PDEs求解精度提升7-38倍，并在二维三角柱绕流场重建中实现速度场相对误差<0.001，显著推动了人工智能在工程领域的应用。

　　

近年来，物理信息神经网络(Physics-informed Neural Networks, PINNs)为偏微分方程(PDEs)求解提供了新范式，但其性能高度依赖配点(collocation points)的分布。传统随机均匀采样在求解含高阶导数的非线性PDEs时易陷入局部最优或发散，而现有自适应方法多聚焦局部高残差区域，忽视全局配点平衡，且对初始配点数量极为敏感。这些瓶颈严重制约了PINNs在复杂工程问题中的应用，如航空器绕流场重建、风暴场预测等场景。

为解决这一挑战，上海大学的研究团队在《Engineering Applications of Artificial Intelligence》发表研究，提出全局-局部自适应重采样(Global–Local Adaptive Resampling, GLAR)策略。该方法创新性地将蒙特卡洛积分值作为训练终止判据，在每轮迭代中先全局均匀补充配点，再于高残差区域加密采样。关键技术包括：1) 蒙特卡洛积分评估模型精度；2) 动态调整的配点增补机制；3) 针对线性/非线性PDEs的差异化训练策略；4) 二维三角柱绕流场重建的物理约束嵌入。

Physics-informed neural networks
研究首先构建标准PINNs框架，通过神经网络逼近解函数u(x,t)，将PDEs残差、初始/边界条件纳入损失函数。特别指出自动微分(automatic differentiation)的计算成本问题，引用Xiao等(2024)采用最小二乘有限差分替代的方案。

Numerical experiment
在扩散方程(Diffusion equation)和波动方程(Wave equation)等线性PDEs中，GLAR-PINNs与传统方法精度相当。但对Burgers、Korteweg–de Vries和Allen–Cahn三类非线性方程，相对误差分别降低14.65倍、38.04倍和7.14倍。在二维三角柱绕流重建中，速度场重建相对误差<10^-3
，验证了策略对复杂几何问题的适用性。

Conclusions
GLAR策略通过平衡全局探索与局部加密，解决了现有方法的两大缺陷：1) 克服了对初始配点数量的敏感性；2) 避免仅关注局部残差导致的全局失衡。研究团队通过消融实验对比全局自适应重采样(GAR)与局部自适应重采样(LAR)，证实GLAR在保持泛化能力的同时显著提升鲁棒性。

该研究为PINNs在工程领域的落地提供了方法论突破，尤其在流体力学、材料科学等涉及非线性PDEs的场景中展现出应用潜力。作者团队Lei Gao等强调，未来可结合生成预训练物理信息神经网络(GPT-PINNs)等新兴架构，进一步拓展参数化PDEs的求解能力。